Enunciado

Seja f (x , y) = {[[x^2 , x >= 0],[x^3 , x < 0]])

Encontre os limites a seguir.

  1. underset((x , y) -> (3 , - 2))(lim) f (x , y)
  2. underset((x , y) -> (- 2 , 1))(lim) f (x , y)
  3. underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) f (x , y)

Passo 1

Oi pessoal, espero que estejam ansiosos pra resolver este exercício comigo! Vamos lá.

Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f (x , y) é contínua no ponto (x_0 , y_0) se:

underset((x , y) -> (x_0 , y_0))(lim) f (x , y) = f (x_0 , y_0)

Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto (x_0 , y_0) de D .

Porém, se f (x , y) -> L_1 quando (x , y) -> (a , b) ao longo do caminho C_1 e f (x , y) -> L_2 quando (x , y) -> (a , b) ao longo do caminho C_2 , com L_1 != L_2 , então lim_(x , y) -> (a , b) f (x , y) não existe.

No item a., temos o limite:

underset((x , y) -> (3 , - 2))(lim) f (x , y)

Podemos observar que {[[x = 3],[y = - 2]]) . Como x >= 0 , podemos dizer que:

underset((x , y) -> (3 , - 2))(lim) f (x , y) = x^2

Passo 2

Já para o item b., temos:

underset((x , y) -> (- 2 , 1))(lim) f (x , y)

Onde {[[x = - 2],[y = 1]]) , ou seja, x < 0 , logo:

underset((x , y) -> (- 2 , 1))(lim) f (x , y) = x^3

Passo 3

E por fim, para o item c.:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) f (x , y)

Sabemos que {[[x = 0],[y = 0]]) , apesar de x >= 0 , não podemos dizer que esse limite exista, porque ter o mesmo limite ao longo de todas as linhas retas se aproximando de (x_0 , y_0) não implica que um limite exista em (x_0 , y_0) .

Resposta

  1. underset((x , y) -> (3 , - 2))(lim) f (x , y) = x^2 .
  2. underset((x , y) -> (- 2 , 1))(lim) f (x , y) = x^3
  3. O limite não existe.

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