Seja f x ,   y = x 2 ,       x ≥ 0 x 3 ,       x < 0

Encontre os limites a seguir.

  1. lim x ,  y → 3 ,   - 2 ⁡ f x ,   y
  2. lim x ,  y → - 2 ,   1 ⁡ f x ,   y
  3. lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f x ,   y

Passo 1

Oi pessoal, espero que estejam ansiosos pra resolver este exercício comigo! Vamos lá.

Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de limites. Uma função f x ,   y é contínua no ponto x 0 ,   y 0 se:

lim x ,  y → x 0 ,   y 0 ⁡ f x ,   y = f x 0 ,   y 0

Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto x 0 ,   y 0 de D .

Porém, se f x ,   y → L 1 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 1 e f x ,   y → L 2 quando x ,   y → a ,   b ao longo do caminho C 2 , com L 1 ≠ L 2 , então lim x ,  y → a ,  b ⁡ f x ,   y não existe.

No item a., temos o limite:

lim x ,  y → 3 ,   - 2 ⁡ f x ,   y

Podemos observar que x = 3       y = - 2 . Como x ≥ 0 , podemos dizer que:

lim x ,  y → 3 ,   - 2 ⁡ f x ,   y = x 2

Passo 2

Já para o item b., temos:

lim x ,  y → - 2 ,   1 ⁡ f x ,   y

Onde x = - 2 y = 1       , ou seja, x < 0 , logo:

lim x ,  y → - 2 ,   1 ⁡ f x ,   y = x 3

Passo 3

E por fim, para o item c.:

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ f x ,   y

Sabemos que x = 0 y = 0 , apesar de x ≥ 0 , não podemos dizer que esse limite exista, porque ter o mesmo limite ao longo de todas as linhas retas se aproximando de x 0 ,   y 0 não implica que um limite exista em x 0 ,   y 0 .

Resposta

  1. lim x ,  y → 3 ,   - 2 ⁡ f x ,   y = x 2 .
  2. lim x ,  y → - 2 ,   1 ⁡ f x ,   y = x 3
  3. O limite não existe.

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