Enunciado

Seja g x = ∫ 0 x f t   d t onde f é a função cujo gráfico é mostrado.

(a) Calcule g 0 , g 1 , g 2 , g 3 e g 6 .

(b) Em que intervalos g está crescendo?

(c) Onde g tem um valor máximo?

(d) Faça um esboço do gráfico de g .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte gráfico de f :

O enunciado também nos diz que

g x = ∫ 0 x f t   d t

Queremos calcular g x para x = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   e   6 .

Para isso, devemos substituir x na função dada e analisar o gráfico para podermos encontrar os valores dentro de cada intervalo.

Assim, lembre-se que a integral pode ser interpretada como a área sob a curva!!

Com isso, poderemos analisar onde g está crescendo e o seu valor de máximo.

Um bocadinho de coisa, né?? Mas vamos devagarinho que vai dar certo!! 😉

Passo 2

Item a:

Se g x = ∫ 0 x f t   d t e essa integral é a área do gráfico, então:

Para x = 0 , temos:

g 0 = ∫ 0 0 f t   d t = 0

Para x = 1 , temos a área de dois quadrados de lado 1 , logo:

g 1 = ∫ 0 1 f t   d t = 1 2 + 1 2 = 2

Para x = 2 :

g 2 = ∫ 0 2 f t   d t = ∫ 0 1 f t   d t + ∫ 1 2 f t   d t

Perceba que já sabemos do resultado da integral de 0,1 .

Por outro lado, para a integral de intervalo 1,2 , perceba no gráfico que trata-se da área de dois quadrados de lado 1 e um triângulo de base 1 e altura 2 , portanto:

g 2 = 2 + 1 2 + 1 2 + 1 * 2 2 = 5

Passo 3

Para x = 3 , temos:

g 3 = ∫ 0 3 f t   d t = ∫ 0 2 f t   d t + ∫ 2 3 f t   d t

Perceba que já sabemos do resultado da integral de 0 , 2 .

Por outro lado, para a integral de intervalo 2,3 , perceba no gráfico que trata-se da área de um triângulo de base 1 e altura 4 , portanto:

g 3 = 5 + 1 * 4 2 = 7

Para x = 6 , temos:

g 6 = ∫ 0 6 f t   d t = ∫ 0 3 f t   d t + ∫ 3 6 f t   d t

Perceba que já sabemos do resultado da integral de 0 , 3 .

Por outro lado, para a integral de intervalo 3,6 , perceba no gráfico que trata-se da área de um trapézio (do lado negativo) de base maior 3 , base menor 1 e altura 2 :

g 6 = 7 - 3 + 1 * 2 2

g 6 = 7 - 4

g 6 = 3

Passo 4

Item b:

Como estamos ampliando a área positiva até x = 3 , então a função está crescendo até x = 3 .

Passo 5

Item c:

Se começamos a subtrair área do gráfico em x = 3 e antes disso adicionamos área, x = 3 é o máximo de g .

Passo 6

Item d:

Temos então o esboço:

Resposta

(a) g 0 = 0, g 1 = 2 , g 2 = 5 , g 3 = 7 , g 6 = 3 .

(b) A função está crescendo até x = 3 .

(c) x = 3 é o máximo de g .

(d)

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7. Calcule a ) ∫ 0 π 8 cos 2 ⁡ xd x
7. Calcule d ) ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ xd x
5. a) Verifique que sin 2 ⁡ x = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x
6. Calcule i ) ∫ ( 5 + s e n3 x ) 2 d x
7. Calcule c ) ∫ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x