Seja A o retângulo 1 <= x <= 2 , 0 <= y <= 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y ,   sendo f(x, y) igual a :

f) x \* cos(xy)

Passo 1

Vamos começar montando a integral. Fica assim oh:

∫ 0 1 ∫ 1 2 x cos ⁡ x y   d x d y

Ok, pela ordem a gente integra primeiro em x , mas aqui, vamos inverter a ordem pra ficar mais fácil. Como são valores fixos, podemos fazer isso sem precisar alterar nada...

∫ 1 2 ∫ 0 1 x cos ⁡ x y   d y d x

Bora lá!

Passo 2

Integrando com relação a y :

∫ 0 1 x cos ⁡ x y   d y = sin ⁡ x y x 0 1 = sin ⁡ x x

Substituindo na integral:

∫ 1 2 x sin ⁡ x x d x = ∫ 1 2 sin ⁡ x d x

Vamos integrar em x agora e pronto...

∫ sin ⁡ x d x = - cos ⁡ x

Aplicando os limites de integração:

∫ 1 2 sin ⁡ x d x = - cos ⁡ 2 + cos ⁡ 1

E prontinho!

Resposta

∫ 0 1 ∫ 1 2 x cos ⁡ x y   d x d y = - cos ⁡ 2 + cos ⁡ 1

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