Mostre que lim x ,  y ,  z → 0 ,   0 ,   0 ⁡ f x ,   y ,   z não existe nos seguintes casos:

f(x, y, z) = (x^2 + y^2 - z^2) / (x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver três variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Tendo x ,   y ,   z tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função f x ,   y ,   z de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.

Passo 2

Então, se substituirmos o ponto 0 ,   0 ,   0 no nosso limite, teremos:

lim x ,  y ,  z → 0 ,   0 ,   0 ⁡ x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 0 0

Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos aplicar uma substituição de acordo com os valores para os quais cada variável tende.

Já que temos todas as variáveis resultando em zero, vamos aplicar a seguinte substituição:

x = y = z

E depois:

2 x = y = z

Pois ambas relações atendem aos valores que x ,   y ,   z tendem.

Para que o limite não existe, precisamos que os resultados dos limites de cada substituição sejam diferentes. Vamos verificar isso.

Passo 3

Logo, aplicando a substituição x = y = z :

lim x ,  y ,  z → 0 ,   0 ,   0 ⁡ x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 + x 2 - x 2 x 2 + x 2 + x 2

Então:

lim x ,  y ,  z → 0 ,   0 ,   0 ⁡ x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 3 x 2 = 1 3

Agora, fazendo 2 x = y = z :

lim x ,  y ,  z → 0 ,   0 ,   0 ⁡ x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 + 4 x 2 - 4 x 2 x 2 + 4 x 2 + 4 x 2

Então:

lim x ,  y ,  z → 0 ,   0 ,   0 ⁡ x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 9 x 2 = 1 9

Portanto, como os dois limites resultaram em valores diferentes, o limite inicial não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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