Enunciado

Mostre que underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) f (x , y , z) não existe nos seguintes casos:

(a) f (x , y , z) = (x^2 + y^2 - z^2)/(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver três variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Tendo (x , y , z) tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função f (x , y , z) de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.

Passo 2

Então, se substituirmos o ponto (0 , 0 , 0) no nosso limite, teremos:

underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) (x^2 + y^2 - z^2)/(x^2 + y^2 + z^2) = (0)/(0)

Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos aplicar uma substituição de acordo com os valores para os quais cada variável tende.

Já que temos todas as variáveis resultando em zero, vamos aplicar a seguinte substituição:

x = y = z

E depois:

2 x = y = z

Pois ambas relações atendem aos valores que x , y , z tendem.

Para que o limite não existe, precisamos que os resultados dos limites de cada substituição sejam diferentes. Vamos verificar isso.

Passo 3

Logo, aplicando a substituição x = y = z :

underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) (x^2 + y^2 - z^2)/(x^2 + y^2 + z^2) = underset(x -> 0)(lim) (x^2 + x^2 - x^2)/(x^2 + x^2 + x^2)

Então:

underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) (x^2 + y^2 - z^2)/(x^2 + y^2 + z^2) = underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(3 x^2) = (1)/(3)

Agora, fazendo 2 x = y = z :

underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) (x^2 + y^2 - z^2)/(x^2 + y^2 + z^2) = underset(x -> 0)(lim) (x^2 + 4 x^2 - 4 x^2)/(x^2 + 4 x^2 + 4 x^2)

Então:

underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) (x^2 + y^2 - z^2)/(x^2 + y^2 + z^2) = underset(x -> 0)(lim) (x^2)/(9 x^2) = (1)/(9)

Portanto, como os dois limites resultaram em valores diferentes, o limite inicial não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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