9. Sejam alpha != 0 e beta constantes. Verifique que

a )   ∫ 1 x 2 - α 2 d x = 1 2 α ln ⁡ x - α x + α + k

Passo 1

Podemos ver que a função dentro da nossa integral não é parecida com essa fórmula do exercício 5. Então, para melhorar podemos ver que o denominador é uma fatoração do tipo a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b ) . Logo,

∫ 1 x 2 - α 2 d x =     ∫ 1 ( x - α ) ( x + α ) d x

Passo 2

Agora, como pedido no enunciado, vamos usar a fórmula m x + n ( x - α ) ( x - β ) = A x - α + B x - β .

1 ( x - α ) ( x + α ) =   A x - α + B x + α

Vamos fazer com que todos denominadores fiquem iguais multiplicando cada uma das frações pelo termo que está faltando nelas. Não se esquecendo que devemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo termo para não alterar a proporcionalidade da fração.

1 ( x - α ) ( x + α ) =   A x - α ( x + α ) ( x + α ) + B x + α ( x - α ) ( x - α )

1 ( x - α ) ( x + α ) = A ( x + α ) ( x - α ) ( x + α ) + B ( x - α ) ( x + α ) ( x - α )

Como todos os termos estão sendo divididos pelo mesmo termo, multiplicando tudo por ( x - 2 ) ( x + 2 ) . Assim,

1 = A x + α + B x - α

1 = x A + α A + x B - α B  

1 = A + B x + α ( A - B )  

Sabendo que a parte esquerda da igualdade deve ser igual a m x + n . Pelo lado esquerdo, temos que m = 0 , pois 0 = 0 x ; e, como o termo independente é 1 , n = 1 . Enquanto isso, olhando pelo lado direito m = ( A + B ) e n = α ( A - B )   . Então, montando o sistema:

A + B = 0 α A - B = 1  

⇒ A + B = 0 ⇒ B =   - A   (1)

⇒ α A - B = 1 (2)

Substituindo (1) em (2)

α A - B = 1   ⇒     α A - ( - A ) = 1   ⇒ 2 α A = 1   ⇒ A = 1 2 a

Colocando o valor de A em qualquer uma das equações, obtemos

B = - 1 2 α

Logo,

1 x - α x + α =   A x - α + B x + α

x ( x - α ) ( x + α ) =   1 2 α x - α + - 1 2 α x + α

x ( x - α ) ( x + α ) =   1 2 α ( x - α ) - 1 2 α ( x + α )

Passo 3

Substituindo na integral

∫ x ( x - α ) ( x + α ) d x =   ∫ 1 2 α x - α - 1 2 α x + α d x  

=   ∫ 1 2 α x - α d x - ∫ 1 2 α x + α d x  

Para a primeira integral, fazendo u = x - α ⇒ d u = d x  

∫ 1 2 α x - α d x = 1 2 α ∫ 1 x - α d x = 1 2 α ∫ 1 u d u = 1 2 α ln ⁡ u + k = 1 2 α ln ⁡ x - α + k

Para a segunda integral, fazendo u = x + α   ⇒ d u = d x

∫ 1 2 α x + α d x = 1 2 α ∫ 1 x + α d x = 1 2 α ∫ 1 u d u = 1 2 α ln ⁡ u + k = 1 2 α ln ⁡ x + α + k

Portanto,

∫ 1 2 α x - α d x - ∫ 1 2 α x + α d x =   1 2 α ln ⁡ x - α - 1 2 α ln ⁡ x + α + k    

1 2 α ln ⁡ x - α - ln ⁡ x + α   + k

Pela propriedade de logaritmos, temos log ⁡ a b = log ⁡ a - log ⁡ b   . Logo,

1 2 α ln ⁡ x - α - ln ⁡ x + α   + k =   1 2 α ln ⁡ x - α x + α + k

Portanto, verificamos que

∫ 1 x 2 - α 2 d x =   1 2 α ln ⁡ x - α x + α + k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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