g) ∫ s e n 2 2 x cos 2 ⁡ 3 x d x  

Passo 1

Esse tipo de questão é bem difícil, então vamos com calma pra você entender tudo.

Da trigonometria, temos:

s e n a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ s e n a + b + s e n a - b

Queremos integrar o seguinte:

E = s e n 2 2 x ⋅ cos 2 ⁡ 3 x = s e n 2 x ⋅ cos ⁡ 3 x 2

Viu que ta parecido?! Então vamos usar relação!!

Passo 2

Transformando de produto em soma, temos:

E = 1 2 ⋅ s e n 5 x + s e n - x 2 = 1 2 ⋅ s e n 5 x - s e n x 2

Logo,

E = 1 4 ⋅ s e n 2 5 x - 2 ⋅ s e n 5 x ⋅ s e n x + s e n 2 x

Mas da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos ⁡ 2 x = 1 - 2 ⋅ s e n 2 x → s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Usando na nossa expressão:

E = 1 4 ⋅ 1 - cos ⁡ 10 x 2 - 2 ⋅ s e n 5 x ⋅ s e n x + 1 - cos ⁡ 2 x 2

Iremos usar só mais uma relação pra finalizar:

s e n a ⋅ s e n b = 1 2 ⋅ c o s a - b - c o s a + b

Nossa termo s e n 5 x ⋅ s e n x vai ficar assim ó:

s e n 5 x ⋅ s e n x = 1 2 ⋅ cos ⁡ 4 x - c o s 6 x

Voltando para expressão E :

E = 1 4 ⋅ 1 - cos ⁡ 10 x 2 - 2 ⋅ 1 2 ⋅ cos ⁡ 4 x - c o s 6 x + 1 - cos ⁡ 2 x 2

Assim,

E = 1 4 ⋅ 1 - cos ⁡ 10 x 2 - cos ⁡ 4 x + cos ⁡ 6 x - cos ⁡ 2 x 2

Não esquece: ∫ c o s x   d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora bora finalizar!

Nossa integral era:

I = ∫ s e n 2 2 x cos 2 ⁡ 3 x d x

E vai ficar assim:

I = ∫ 1 4 ⋅ 1 - cos ⁡ 10 x 2 - cos ⁡ 4 x + cos ⁡ 6 x - cos ⁡ 2 x 2 d x

Isto é,

I = 1 4 ⋅ ∫ d x - ∫ cos ⁡ 10 x 2 d x - ∫ cos ⁡ 4 x d x + ∫ cos ⁡ 6 x d x - ∫ cos ⁡ 2 x 2 d x

Integrando:

I = 1 4 ⋅ x - sen ⁡ 10 x 20 - sen ⁡ 4 x 4 + sen ⁡ 6 x 6 - sen ⁡ 2 x 4 + c

Logo,

I = x 4 - sen ⁡ 10 x 80 - sen ⁡ 4 x 16 + sen ⁡ 6 x 24 - sen ⁡ 2 x 16 + c

Resposta

I = x 4 - sen ⁡ 10 x 80 - sen ⁡ 4 x 16 + sen ⁡ 6 x 24 - sen ⁡ 2 x 16 + c

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