Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 33
Análise de um hemisfério sólido homogêneo de raio .
Passo 1
- Encontre o centróide de um hemisfério sólido homogêneo de raio
- Encontre o momento de inércia do sólido da parte a) com relação a um diâmetro de sua base.
Como temos um hemisfério sólido homogêneo, a função densidade é dada por:
Sabemos que um hemisfério é metade de uma esfera, então sua massa é dada por:
Devido a simetria do sólido em estudo, temos que os momentos de massa com relação aos eixos e serão iguais a zero:
Dessa forma, nos resta calcular o momento de massa com relação ao eixo , que é dado por:
Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:
Através dos limites de integração e das relações de transformação para coordenadas esféricas apresentadas acima, podemos reescrever a integral como:
Separando as integrais de acordo com suas variáveis, temos:
Sabemos que as integrais com formato:
São resolvidas por substituição, fazendo e a integral se torna:
Nesse caso, temos , então, resolvendo a integral, temos:
E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos:
Dessa forma, o centróide é dado por:
Passo 2
Iremos posicionar o centro da base na origem para facilitar os cálculos, e devido a simetria do sólido, os momentos de inércia sob quaisquer um dos dois eixos com relação ao diâmetro serão iguais, sendo assim, podemos calcular:
Substituindo as relações de transformação do passo 1 e aplicando os intervalos de integração, temos:
Passo 2
Iremos resolver essa integral de maneira iterada, começando com , temos:
Sabemos que as integrais com formato:
São resolvidas por substituição, fazendo e a integral se torna:
Nesse caso, temos , então, resolvendo a integral, temos:
Agora, resolvendo a integral para , temos:
E, simplificando a expressão, temos:
E, finalmente, integrando para :
Simplificando a expressão para , obtemos: