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A solução de problema valor inicial

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 y = 0 ,   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 1

É chamada de equação de Bessel de ordem 0 .

  1. Resolva o problema de valor inicial para determinar uma expansão em série de potências da função de Bessel.
  2. Faça o gráfico de vários polinômios de Taylor até atingir um que pareça uma boa aproximação para a função de Bessel no intervalo de [ - 5,5 ] .

Passo 1

Olá, tudo bem? Bom, esse exercício tem como finalidade nos mostrar a equação de Bessel. Ela apresenta a equação de ordem zero, mas podemos encontrar facilmente em ordens superiores. Para resolver vamos começar supondo solução do tipo série de potência:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

A derivada em relação à x é:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

E a derivada segunda é:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

Agora vamos substituir na equação diferencial:

x ² ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 + x ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 + x ² ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

E já vamos colocar os termos com x   e   x ² que estão do lado de fora dos somatórios para dentro:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n + ∑ n = 1 ∞ n . c n x n + ∑ n = 0 ∞ c n x n + 2 = 0

Pronto, vamos continuar?

Agora temos uma equação em série de potência, vamos ver como se resolve?

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de x   possível. No nosso caso o maior expoente é do terceiro somatório do lado esquerdo, com potência n + 2 . Então vamos arrumar o primeiro e o segundo somatórios do lado esquerdo.

  • O primeiro do lado esquerdo:
  • ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) . c n x n

    Vamos substituir o índice original n por n ' + 2 . Assim vamos ter n → n ' + 2 , então o n original vai virar n → n ' + 2 :

    ∑ n ' + 2 = 2 ∞ n ' + 2 . ( n ' + 1 ) . c n ' + 2 x n ' + 2

    E agora vamos simplificar os índices:

    ∑ n ' = 0 ∞ n ' + 2 . ( n ' + 1 ) . c n ' + 2 x n ' + 2

    E por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

    ∑ n = 0 ∞ n + 2 . ( n + 1 ) . c n + 2 x n + 2

  • Agora o segundo somatório:

∑ n = 1 ∞ n . c n x n

Vamos substituir o índice original n por n ' + 2 :

∑ n ' + 2 = 1 ∞ ( n ' + 2 ) . c n ' + 2 x n ' + 2  

E agora vamos simplificar os índices:

∑ n ' = - 1 ∞ ( n ' + 2 ) . c n ' + 2 x n ' + 2  

E por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

∑ n = - 1 ∞ n + 2 . c n + 2 x n + 2

E podemos agora podemos substituir novamente na equação diferencial:

∑ n = 0 ∞ n + 2 . ( n + 1 ) . c n + 2 x n + 2 + ∑ n = - 1 ∞ n + 2 . c n + 2 x n + 2 + ∑ n = 0 ∞ c n x n + 2 = 0

Beleza! Agora vamos arrumar os somatórios? =D

Passo 3

Bom, agora que temos todos os x com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Dois deles começam em 0 e outro em - 1 , então devemos colocar o primeiro termo do que começa com n = - 1 para fora e assim deixar todos somatórios começando em 0 (sempre deixar com o maior índice comum a todos):

c 1 x + ∑ n = 0 ∞ n + 2 . ( n + 1 ) . c n + 2 x n + 2 + ∑ n = 0 ∞ n + 2 . c n + 2 x n + 2 + ∑ n = 0 ∞ c n x n + 2 = 0

Beleza! Agora que temos os somatórios iguais e as potências de x iguais, podemos unir esses dois somatórios em um só:

c 1 x + ∑ n = 0 ∞ [ n + 2 . ( n + 1 ) . c n + 2 + n + 2 . c n + 2 + c n ] x n + 2 = 0

Para essa sentença ser verdadeira teremos:

c 1 x = 0  

Pois do outro lado não temos nenhum polinômio de primeiro grau para igualar, então c 1 é nulo.

E também tudo que está dentro dos colchetes no somatório deve ser zero:

n + 2 . ( n + 1 ) . c n + 2 + n + 2 . c n + 2 + c n = 0

Podemos organizar melhor essa expressão:

c n + 2 n + 2 n + 1 + 1 + c n = 0

c n + 2 n + 2 n + 2 + c n = 0

E daí olha só:

c n + 2 n + 2 2 = - c n

Assim podemos isolar o termo c n + 2 :

c n + 2 = - c n n + 2 2

Agora pare! Antes de ir vendo qual é a fórmula para c n , vamos aplicar as condições de contorno!

Passo 4

Então é aqui que testamos as condições iniciais. Lá do passo 1 temos:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 x 0 + c 1 x ¹ + c 2 x ² + …

A primeira condição inicial nos diz que para x = 0 ,   y = 1 , então substituindo na solução que supomos lá no começo temos:

y 0 = c 0 . 1 + c 1 . 0 + c 2 0 ² + … = 1

c 0 = 1

Ok! Agora a segunda condição de contorno diz respeito à derivada de y . Então, também do passo 1 :

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 = c 1 x 0 + c 2 x 1 + …

E a condição de contorno nos diz que y ' 0 = 0 então:

  y ' 0 = c 1 . 1 + c 2 . 0 + … = 0 Assim c 1 = 0 . Show! Então temos c 0 = 1 ,   c 1 = 0 . Agora sim podemos ir para o cálculo de c n .

Passo 5

Voltando no passo 3 e resgatando a fórmula de recorrência para c n + 2 :

c n + 2 = - c n n + 2 2

E vamos variar o valor de n para visualizar a recorrência:

  • Para n = 0 :
  • c 2 = - c 0 2 2 = - 1 2 2

  • Para n = 1 :
  • c 3 = - c 1 3 2 = 0

  • Para n = 2 :
  • c 4 = - c 2 4 2 = - 1 2 2 2 . 4 2

  • Para n = 3 :

c 5 = - c 3 5 2 = 0

Se continuarmos, vamos ver que os termos ímpares serão nulos: c 1 = c 3 = c 5 = c 2 n + 1 = 0

Agora para os termos pares:

c 2 = - 1 2 2 ,     c 4 = - 1 2 2 2 . 4 2 ,     c 6 = - 1 3 2 2 . 4 2 . 6 2

Então para os termos pares vamos ter:

c 2 n = - 1 n n ! 2 2 2 n ,   n = 1,2 , 3 …

Passo 6

Beleza! Agora que encontramos o coeficiente c 2 n podemos voltar para o passo 1 e substituir na solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

y x = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! 2 2 2 n x 2 n

E essa é a função de Bessel de ordem zero:

J 0 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! 2 2 2 n x 2 n

Passo 7

Agora na letra ( b ) é pedido uma boa aproximação usando os polinômios de Taylor. Eu usei uma calculadora gráfica online e somando os 5 primeiros termos temos (em rosa):

p : y = 1 - x 2 4 + x 4 64 - x 6 2304 + x 8 147456

Resposta

a   y x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! 2 2 2 n x 2 n

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