Enunciado

Suponha que alteremos a equação diferencial no Exercício 19 como a seguir:

d P d t = k P cos 2 ⁡ r t - ϕ                   P 0 = P 0

(a) Resolva essa equação diferencial com a ajuda de uma tabela de integrais ou um SCA.

(b) Trace a solução para vários valores de k ,   r e ϕ . Como os valores de k ,   r   e ϕ afetam a solução? O que você pode dizer sobre lim t → ∞ ⁡ P t nesse caso?

Passo 1

(a) Pessoal, com a ajuda de um SCA, resolvemos a equação diferencial do enunciado:

P t = P 0 exp ⁡ k t 2 + k 4 r s e n 2 r t - 2 ϕ + k 4 r s e n 2 ϕ

Passo 2

(b) Agora a gente traça a solução para alguns valores de k ,   r e ϕ :

Aqui alteramos somente o valor de k : à medida que aumenta, a função oscila menos e tende a se parecer mais com a função exponencial

Aqui alteramos somente o valor de r : à medida que aumenta, o período parece diminuir

Aqui alteramos somente o valor de ϕ : ficou doido né!

Passo 3

Show! Agora vamos calcular o limite:

lim t → ∞ ⁡ P t = lim t → ∞ ⁡ P 0 exp ⁡ k t 2 + k 4 r s e n 2 r t - 2 ϕ + k 4 r s e n 2 ϕ → P 0 e ∞ → ∞

Realmente, isso condiz bastante com nossos gráficos!

Resposta

(a) P t = P 0 exp ⁡ k t 2 + k 4 r s e n 2 r t - 2 ϕ + k 4 r s e n 2 ϕ

(b) lim t → ∞ ⁡ P t = ∞

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