Enunciado

Vamos modificar a equação logística do Exemplo 1 como a seguir:

d P d t = 0,08   P 1 - P 1000 - 15

(a) Suponha que P t represente uma população de peixes no instante t , onde t é medido em semanas. Explique o significado do termo - 15 .

(b) Desenhe um campo de direções para essa equação diferencial.

(c) Quais são as soluções de equilíbrio?

(d) Use o campo de direções para esboçar várias curvas solução. Descreva o que acontece à população de peixes para várias populações iniciais.

(e) Resolva essa equação diferencial explicitamente, usando frações parciais ou com um sistema de computação algébrica. Use as populações iniciais de 200 e 300 . Trace as soluções e compare com seus esboços na parte (d).

Passo 1

(a) E aê, pessoal! Aqui a gente tem uma equação diferencial que se parece bastante com a logística pra descrever uma população de peixes, mas tem um termo constante sendo subtraído. O que será que isso significa?

Bom, significa que há uma perda constante de peixes por semana (já que t é medido em semanas). Nesse caso, pode ser que, por semana, 15 peixes sejam pescados por humanos.

Passo 2

(b) Agora vamos desenhar um campo de direções que represente a equação diferencial:

Passo 3

(c) As soluções de equilíbrio ocorrem quando a taxa de crescimento é nula, ou seja:

d P d t = 0

0,08   P 1 - P 1000 - 15 = 0

Resolvendo essa equação do 2 º grau, obtemos:

P = 250     o u     P = 750

Então essas são as nossas soluções de equilíbrio!

Passo 4

(d) Agora vamos esboçar algumas soluções a partir do campo de direções:

A gente já viu que existem duas soluções de equilíbrio aí. Mas repare que as demais soluções tendem a se afastar de P = 250 , e tendem a se aproximar de P = 750 , né mesmo?

Quem começa com uma população abaixo de 250 tende a se extinguir, e acima disso, tende a se estabilizar em 750 .

Passo 5

(e) Agora, com o auxílio de um sistema de computação algébrica, vamos resolver a equação diferencial do enunciado, com populações iniciais de 200 e 300 . (Dá pra fazer por frações parciais também, fique à vontade hahaha)

P t = 250 3 e t 25 - 11 e t 25 - 11           e         P t = 750 e t 25 + 3 e t 25 + 9

E agora a gente traça essas soluções:

Repare que ficou bem parecido com o nosso esboço feito no item (d), para P 0 = 200 e P 0 = 300 .

Resposta

(c) P = 250     o u     P = 750

(e) P t = 250 3 e t 25 - 11 e t 25 - 11           e         P t = 750 e t 25 + 3 e t 25 + 9

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