Enunciado

Suponha que f x > 0 e contínua em um intervalo [a,b]. Prove que ∫ a b f x d x > 0

Passo 1

Esse problema é muito simples, como a nossa função f(x) é continua no intervalo [a,b] isso significa que a mesma é limitada, isto é, existe 2 valores máximos e mínimos em nossa função no intervalo [a,b], vamos chamar esses valores de m e M:

m ≤ f x ≤ M

Passo 2

Sabemos que:

f x > 0

Então nosso m é o valor mais próximo do valor mínimo que nossa função pode assumir que é 0, dessa forma:

0 < f x ≤ M

Passo 3

Agora se integrarmos ambos os lados da equação obtemos:

∫ a b 0 d x ⏟ 0 < ∫ a b f x d x ≤ ∫ a b M d x ⏟ M ( b - a )

Resultando em:

0 < ∫ a b f x d x ≤ M b - a

M b - a ≥ ∫ a b f x d x   > 0

Resposta

∫ a b f x d x   > 0

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