Enunciado

Suponha p um inteiro positivo e f uma função p vezes diferenciável tal que f ( p ) = f . Usando a indução matemática, mostre que f é n vezes diferenciável, para todo inteiro positivo n , e que cada uma das suas derivadas mais altas, f ( n ) , é igual a uma das p funções f , f ' , f ' ' , , f p - 1 .

Passo 1

Vamos começar relembrando a ideia geral por trás da indução matemática. Como usamos a indução para provar que uma certa propriedade vale para todos os números inteiros positivos?

Primeiro temos que provar que ela funciona para algum número inteiro. No nosso caso, provar que a regra funciona para n = 1 .

Depois, temos que provar que, se a propriedade funciona para certo n , então ela funciona para n + 1 .

Se fizermos isso, podemos ir “pulando” de um número para o outro em passos de 1 , e então estará provado que a propriedade vale para todos os inteiros.

Passo 2

Então primeiro vamos mostrar que a propriedade vale para n = 1 . De fato, a primeira derivada existe:

f ( 1 ) = f '

E está no conjunto:

S = f ,   f ' ,   f ' ' , … ,   f p - 1

Beleza, isso encerra o primeiro passo.

Passo 3

Agora nós vamos supôr que a propriedade é válida para algum inteiro positivo k .

Em outras palavras, supomos que f é diferenciável k vezes, e que f k está nesse conjunto:

S = f ,   f ' ,   f ' ' , … ,   f p - 1

Se f ( k ) existe e está nesse conjunto, então f k + 1 também existe e está no conjunto formado pelas derivadas das funções de S :

S ' = f ' ,   f ' ' ,   f ' ' ' , … ,   f p

Mas o enunciado diz que f ( p ) = f , então o último termo passará a ser f p - 1 , e f p vai “repôr” o primeiro termo f que tínhamos antes, ou seja:

S ' = S = f ,   f ' ,   f ' ' , … ,   f p - 1

Ou seja, f ( k + 1 ) também pertence ao conjunto S .

Passo 4

Beleza, nós mostramos que se a propriedade vale para f ( k ) , então ela vale para f k + 1 .

Mas nós também mostramos que ela vale para f ( 1 ) , o que quer dizer que ela vale para f 1 + 1 = f 2 .

Mas se ela vale para f ( 2 ) , então ela vale para f 2 + 1 = f 3 . E podemos repetir isso até provar que a propriedade vale para todos os inteiros positivos.

Resposta

Demonstração.

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Encontre uma fórmula para f^((n)) ( x ) . Se f (x) = l n ( x - 1 )
13. Ache a derivada de ordem 100 das funções:a) y = sen ⁡ x b) y = cos ⁡ x
10. y = tg x ; n = 3
9. y = sen a x ; n = 7
10. y = - 2 cos (x)/(2) ; n = 5