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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞   c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.

Passo 1

Beleza, pessoal? Pra mostrar que esse limite é igual ao raio de convergência R , vamos fazer algo que se assemelha a aplicar o Teste da Razão de trás pra frente, você vai ver como é.

Partimos de:

x - a < R

1 R   x - a < 1

Podemos reescrever x - a assim:

1 R x - a n + 1 x - a n < 1

E a inequação continuará verdadeira se aplicarmos o limite:

l i m n → ∞   1 R x - a n + 1 x - a n < 1

Passo 2

Show! Agora perceba que devemos ter, por causa do Teste da Razão:

l i m n → ∞   a n + 1 a n = l i m n → ∞   1 R x - a n + 1 x - a n

l i m n → ∞   c n + 1 x - a n + 1 c n x - a n = 1 R   l i m n → ∞   x - a n + 1 x - a n

l i m n → ∞   c n + 1 c n   l i m n → ∞   x - a n + 1 x - a n = 1 R   l i m n → ∞   x - a n + 1 x - a n

l i m n → ∞   c n + 1 c n = 1 R

R = 1 l i m n → ∞   c n + 1 c n

R = l i m n → ∞   c n c n + 1

Beleza?

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