Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n + n cos^2 n)

Passo 1

Eita! Aquele cosseno elevado ao quadrado ali no denominador parece que vai complicar as coisas, né? Então, vamos começar bem tranquilo, fazendo a seguinte manipulação algébrica:

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n + n cos^2 n) = sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n (1 + cos^2 n)) = sum_(n = 1)^(oo) (1 // n)/((1 + cos^2 n))

Show de bola! Agora, vamos comparar essa nossa série com a série harmônica sum_(n = 1)^(oo) b_n = sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n)

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((1 // n)/((1 + cos^2 n)))/(1 // n) = underset(n -> oo)(lim) (1)/((1 + cos^2 n))

Passo 2

Perceba que o limite acima resultará num número positivo tal que

(1)/(2) < underset(n -> oo)(lim) (1)/((1 + cos^2 n)) < 1

Desta forma, como a série com a qual fizemos a comparação é uma série divergente (a série harmônica), chegamos à conclusão de que a nossa série também é divergente.

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n + n cos^2 n) é divergente

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dê um exemplo de um par de séries ∑ a n e ∑ b n com termos positivos para as quais lim n → ∞ ⁡ ( a n / b n ) = 0 e ∑ b n diverge, mas ∑ a n converge.
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n !
Demonstre que, se a n ≥ 0 e ∑ a n convergir, então ∑ a n 2 também converge.
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ e 1 / n n