Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(k = 1)^(oo) k^2 e^(- k)

Passo 1

Nada melhor que uma dica logo no primeiro passo, não é? Então lá vai...

Geralmente quando nos depararmos com séries cujo termo é algo do tipo a_n = n^(alpha) e^(- n^(beta)) , com alpha , beta in N , nós terminaremos usando o “Teste da Integral”.

Olhando para o nosso enunciado, vemos que é exatamente o caso da nossa dica! Então...partiu “Teste da Integral”!

Passo 2

Antes de aplicarmos logo o “Teste da Integral”, vamos só confirmar se o nosso termo da série, quando entendido como uma função a ser integrada, é, de fato, contínuo, positivo e decrescente (essa é a condição para usarmos o Teste da Integral ).

k^2 e^(- k) [[P,a,r,a,,o],[vec T e s t e d a I n t e g r a l]] f (x) = x^2 e^(- x) = (x^2)/(e^x)

Bom...Para o intervalo [ 2 , oo ) , nossa função f ( x ) é positiva, contínua e decrescente. Logo, podemos aplicar o Teste da Integral sem medo de sermos felizes!

Passo 3

Aplicando o “Teste da Integral”, temos o seguinte:

sum_(k = 1)^(oo) k^2 e^(- k) underset(T e s t e d a I n t e g r a l)(->) int_1^(oo) x^2 e^(- x) d x = underset(t -> oo)(lim) (int_1^t x^2 e^(- x) d x)

Resolvendo aquela integral ali em cima e aplicando o limite, temos que:

int_1^(oo) x^2 e^(- x) d x = underset(t -> oo)(lim) (int_1^t x^2 e^(- x) d x) = underset(t -> oo)(lim) [- e^(- x) ( x^2 + 2 x + 2 )]_1^t = [- (x^2 + 2 x + 2)/(e^x)]_1^t

underset(t -> oo)(l i m) [- ((t^2 + 2 t + 2)/(e^t)) + (5)/(e)] = underset(t -> oo)(l i m) [- ((t^2 + 2 t + 2)/(e^t))] + (5)/(e)

Aplicando L’Hospital duas vezes nesse primeiro limite, temos:

underset(t -> oo)(l i m) ((- 2)/(e^t)) + (5)/(e) = 0 + (5)/(e) = (5)/(e)

Passo 4

Opa! Chegamos à conclusão de que a nossa integral converge! Portanto, pelo “Teste da Integral”, a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(k = 1)^(oo) k^2 e^(- k) é convergente

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