Enunciado

As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular.

∫ 0 1 ∫ 0 π ∫ 0 π 4 12 ρ s e n 3 ϕ d ϕ d θ d ρ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

As técnicas utilizadas para resolver esse tipo de problema costuma ser de tipo relações trigonométricas, então é bom termos esse conhecimento para que possamos resolver o mais rápido e de forma correta.

Dito isso... Vem comigo!

Passo 2

∫ 0 1 ∫ 0 π 12 ρ ∫ 0 π 4 s e n 2 ϕ   s e n ( ϕ ) d ϕ d θ d ρ

Sabemos que s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1   logo s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

∫ 0 1 ∫ 0 π 12 ρ ∫ 0 π 4 ( 1 - cos 2 ⁡ ( ϕ ) )   s e n ϕ d ϕ d θ d ρ

Façamos u = c o s ⁡ ( ϕ ) logo d u = - cos ⁡ ϕ d ϕ e quando ϕ = 0 ,   u = 1 e para ϕ = π 4 ,   u = 2 2

∫ 0 1 ∫ 0 π 12 ρ ∫ 1 2 2 u 2 - 1 d u   d θ d ρ

Usando que ∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x

∫ 0 1 ∫ 0 π 12 ρ ∫ 2 2 1 ( 1 - u 2 )   d u   d θ d ρ

Passo 3

∫ 0 1 ∫ 0 π 12 ρ u - 1 3 u 3 2 2 1 d θ d ρ

Para

u 2 2 1 = 1 - 2 2

Para

1 3 u 3 2 2 1 = 1 3 - 1 6 2

Assim:

∫ 0 1 ∫ 0 π 12 ρ 1 - 2 2 - 1 3 - 1 6 2 d θ d ρ

∫ 0 1 ∫ 0 π 12 ρ - 5 6 2 + 2 3 d θ d ρ

∫ 0 1 12 ρ - 5 6 2 + 2 3 θ 0 π d ρ

12 π - 5 6 2 + 2 3 ∫ 0 1 ρ d ρ

12 π - 5 6 2 ∓ 2 3 1 2 ρ 2 0 1

6 π - 5 6 2 + 2 3

Resposta

6 π - 5 6 2 + 2 3