Enunciado

Trace a curva e calcule seu comprimento.

46. x = e^t - t , y = 4 e^((t)/(2)) , - 8 <= t <= 3

Passo 1

Queremos esboçar a curva que tem as equações paramétricas dadas. Bom, para fazer isso, vamos criar uma tabelinha de valores que relacionam t , x e y , aí poderemos plotar esses pontos no gráfico.

Assim, quando t = 0 , por exemplo, teremos x = e^0 - 0 = 1 e y = 4 e^0 = 4 . Fazemos o mesmo para outros valores de t , e montamos a seguinte tabela:

Show! Agora só precisamos colocar esses pontos em um gráfico e traçar uma linha unindo eles.

Passo 2

Passo 3

Agora nós queremos calcular o comprimento dessa curva. Sabemos que o comprimento L de uma curva pode ser calculado pela integral:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Então mãos à obra! Vamos calcular (d x)/(d t) e (d y)/(d t)

(d x)/(d t) = e^t - 1

(d y)/(d t) = 2 e^((t)/(2))

L = int_(- 8)^3 sqrt(( e^t - 1 )^2 + (2 e^((t)/(2)))^2) d t

L = int_(- 8)^3 sqrt(e^(2 t) - 2 e^t + 1 + 4 e^t) d t

L = int_(- 8)^3 sqrt(e^(2 t) + 2 e^t + 1) d t

L = int_(- 8)^3 sqrt((e^t + 1)^2) d t

L = int_(- 8)^3 e^t + 1 d t

L = [ e^t + t ]_(- 8)^(3 t)

L = (e^3 + 3) - (e^(- 8) - 8) = e^3 - e^(- 8) + 11

Então o comprimento dessa curva é L = e^3 - e^(- 8) + 11

Resposta

L = e^3 - e^(- 8) + 11

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