Enunciado

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência.

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 n 4 4 n  

Passo 1

A principal estratégia para resolver esse tipo de questão sem perda de tempo e esforço é classificando a série de acordo com a sua forma.

A série do enunciado, apesar de ser uma série alternada, possui uma outra constante elevada a n -ésima potência. Neste caso, o Teste da Razão pode ser uma boa opção.

Passo 2

Através do enunciado, vemos que

a n = - 1 n - 1 n 4 4 n

No Teste da Razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 - 1 ( n + 1 ) 4 4 n + 1 1 - 1 n - 1     4 n n 4

Agora vamos reescrever esta equação de forma que podemos simplificá-la e expandir o termo fatorial:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 - 1 ( n + 1 ) 4 4 n + 1 1 - 1 n - 1     4 n n 4 = lim n → ∞ ⁡ - 1 n ( n + 1 ) 4 4 n 4 1 - 1 n - 1 - 1     4 n n 4

Em seguida, vamos cortar os termos iguais, obtendo

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 4 n 4     ( - 1 ) 4

Colocando a constante | - 1 / 4 | para fora do limite, chegamos em

1 4 lim n → ∞ ⁡ n + 1 4 n 4 = 1 4 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n 4

1 4 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 4 = 1 4

Logo,

L = 1 4 < 1

Neste caso, a série é absolutamente convergente.

Resposta

absolutamente convergente.

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