Usando a definição de limite, mostrar que:

lim x → - 1 y → 2 ⁡ 5 x - 2 y = - 9

Passo 1

Pra calcular o limite pela definição, o que a gente tem que fazer é mostrar que, para todo ε > 0 , existe um δ > 0 tal que:

f x , y - - 9 < ε

Sempre que 0 < x + 1 2 + y - 2 2 < δ , onde f x , y = 5 x - 2 y . Vamos começar dando uma manipulada nessa expressão.

f x , y - - 9 = f x , y + 9 = 5 x - 2 y + 9

Agora a gente faz aparecerem valores proporcionais a ( x + 1 ) e a ( y - 2 ) nessa expressão. Dividindo o 9 em duas partes:

5 x - 2 y + 9 = 5 x + 5 - 2 y + 4

5 x - 2 y + 9 = 5 x + 1 - 2 y - 2

Botando o sinal de menos pra dentro:

5 x - 2 y + 9 = 5 x + 1 + 2 - y + 2

Pela desigualdade triangular:

5 x - 2 y + 9 ≤ 5 x + 1 + 2 - y + 2

Passo 2

Daqui, a gente pode escrever:

x + 1 ≤ x + 1 2 + y - 2 2 < δ

- y + 2 ≤ x + 1 2 + y - 2 2 < δ

Isso é verdade porque para números positivos a e b , a ≤ a 2 + b 2 . Demonstramos isso assim:

a ≤ a 2 + b 2

Elevando ao quadrado (já que os dois lados são positivos):

a 2 ≤ a 2 + b 2

b 2 ≥ 0

E isso é sempre verdade! Qualquer número elevado ao quadrado é maior ou igual a 0 .

Continuando, podemos escrever:

5 x + 1 + 2 - y + 2 < 5 δ + 2 δ = 7 δ

Se a gente pegar δ = ε 7 ,

5 x + 1 + 2 - y + 2 < 7 ε 7

5 x + 1 + 2 - y + 2 < ε

Comprovamos o que queríamos, que existe um δ e um ε satisfazendo aquela condição, então está provado que:

lim x → - 1 y → 2 ⁡ 5 x - 2 y = - 9

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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