Usando a definição de limite, mostrar que:

lim x , y → ( 2,3 ) ⁡ 3 x + 2 y = 12

Passo 1

Pra calcular o limite pela definição, o que a gente tem que fazer é mostrar que, para todo ε > 0 , existe um δ > 0 tal que:

f x , y - 12 < ε

Sempre que 0 < x - 2 2 + y - 3 2 < δ , onde f x , y = 3 x + 2 y .

Vamos começar dando uma manipulada nessa expressão.

f x , y - 12 = 3 x + 2 y - 12

Agora a gente faz aparecerem valores proporcionais a ( x - 2 ) e a ( y - 3 ) nessa expressão. Dividindo o 12 em duas partes:

3 x + 2 y - 12 = 3 x - 6 + 2 y - 6

3 x + 2 y - 12 = 3 x - 2 + 2 ( y - 3 )

Pela desigualdade triangular:

3 x + 2 y - 12 ≤ 3 x - 2 + 2 y - 3

Passo 2

Daqui, a gente pode escrever:

x - 2 ≤ x - 2 2 + y - 3 2 < δ

y - 3 ≤ x - 2 2 + y - 3 2 < δ

Isso é verdade porque para números positivos a e b , a ≤ a 2 + b 2 . Demonstramos isso assim:

a ≤ a 2 + b 2

Elevando ao quadrado (já que os dois lados são positivos):

a 2 ≤ a 2 + b 2

b 2 ≥ 0

E isso é sempre verdade! Qualquer número elevado ao quadrado é maior ou igual a 0 .

Continuando, podemos escrever:

3 x - 2 + 2 y - 3 < 3 δ + 2 δ = 5 δ

Se a gente pegar δ = ε 5 ,

3 x - 2 + 2 y - 3 < 5 ε 5

3 x - 2 + 2 y - 3 < ε

Comprovamos o que queríamos, que existe um δ e um ε satisfazendo aquela condição, então está provado que:

lim x , y → ( 2,3 ) ⁡ 3 x + 2 y = 12

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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