Enunciado

Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial f → , através da superfície do sólido T ,sendo:

f → = x y i ^ + y z j ^ + x z k ^ e T o cone z ≥ x 2 + y 2 ,   z ≤ 4

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja T um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável S . Se n → é a normal unitária exterior a S e se f → = f 1 i → + f 2 j → + f 3 k → é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de 1 ª ordem contínuas em um domínio que contém T , então

∬ S f → ⋅ n → d S = ∭ T ∇ ⋅ f → d V

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Passo 2

Sendo T o cone, vamos parametrizar usando coordenadas polares. Assim

x = r cos ⁡ θ

y = r s e n   θ

r ≤ z ≤ 4

Assim temos que nossos limites são r ∈ 0,4 , θ ∈ 0,2 π e como já definido z r , 4 , já queremos a parte de dentro do cone.

Outra coisa importante que devemos lembrar é que a transformação d x d y d z → J d r d θ d z

Onde J em coordenadas polares é r .

Passo 3

Sendo nosso f → = x y , y z , x z . Assim temos que o nosso divergente será

∇ ⋅ f → = ∂ x y ∂ x + ∂ y z ∂ y + ∂ x z ∂ z = y + z + x

Assim, dada a parametrização que escolhemos no passo 2, então temos que

∇ ⋅ f → r , θ , z = r cos ⁡ θ + s e n   θ + z

Assim nossa integral pode ser escrita como

∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ r 4 r cos ⁡ θ + s e n   θ + z d z d θ d r

Lembrando que a integral de seno e cosseno entre o intervalo de 0 á 2 π é sempre nula, temos então que sobra

∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ r 4 r z d z d θ d r = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π r z 2 2 d θ d r = π ∫ 0 4 r 16 - r 2 d r

Assim temos

π ∫ 0 4 16 r - r 3 d r = π 8 r 2 - r 4 4 0 4 =

π 128 - 64 = 64 π

Resposta

64 π

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Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada. ∬ S f → ⋅ n → d S Sendo f → = 2 x i ^ + 3 y j ^ + 4 z k ^ e S a superfície exterior do sólido delimitado pelos paraboloides z
Calcule o divergente do campo vetorial dado. v → x , y = - y i → + x j →
Calcule o divergente do campo vetorial dado. u → x , y , z = x i → + y j → + z k →
Calcule o divergente do campo vetorial dado. F → x , y , z = x 2 - y 2 i → + s e n x 2 + y 2 j → + a r c t gzk →
Calcule o divergente do campo vetorial dado. F → x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 a r c t gx 2 + y 2 + z 2 k →