Enunciado

Use uma aproximação linear local para estimar o valor da quantidade dada:

tan ⁡ 0,2

Passo 1

A gente sabe pela fórmula (1) que se quisermos aproximar uma função, vale:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Mas precisamos escolher uma função e um x 0

Nesse caso parece uma boa ideia escolher f x = tan ⁡ x   e x 0 = 0 , até porque a gente conhece a tangente de 0 . Fica assim:

  f x 0 =   f 0 = tan ⁡ 0 = 0

Derivando...

f ' x = tan ⁡ x   ' = sec ⁡ x 2    

⇒               f ' x 0 = f ' 0 = sec ⁡ 0 2 = 1      

Passo 2

Substituindo esses dados na Fórmula (1):

f x = tan ⁡ x     ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Como x 0 = 0

tan ⁡ x   ≈ f 0 + f ' ( 0 ) ( x - 0 )

Chegamos na equação que aproxima valores de f quando x estiver próximo de 0

tan ⁡ x   ≈ 0 + 1 ( x - 0 )

tan ⁡ x   ≈ x

Passo 3

Fazendo x = 0 , 2 e colocando na expressão de aproximação:

tan ⁡ 0,2   ≈ 0,2

PS: pra essa aproximação devemos usar o ângulo em radianos, nesse caso já estava 😊

Resposta

tan ⁡ 0,2   ≈ 0,2

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