Enunciado

Use um CAS para encontrar a massa e o centro de gravidade da lâmina dada de densidade δ .

A lâmina delimitada por y = s e n   x , y = 0 , x = 0 e x = π ; δ = 4 .

Passo 1

A ideia aqui é encontrar a massa pela expressão:

m = A δ

Já que a densidade δ é constante. E encontrar o centro de gravidade usando nossas fórmulinhas:

x - = 1 m   ∫ a b δ x ( f x - g x ) d x

y - = 1 m   ∫ a b δ 2 f x 2 - g x 2 d x

Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a área da nossa lâmina:

A região descrita por ela é limitada por cima pela função y = s e n   x e por baixo pela função y = 0 . E ela está no intervalo [ 0 , π ] .

Podemos então dizer que a área pode ser achada pela integral:

A = ∫ 0 π s e n   x d x = - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 = 2

Então a massa é:

m = A δ = 2 ⋅ 4 = 8

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centro de gravidade por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 m   ∫ a b δ x ( f x - g x ) d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = s e n   x (por cima) e y = 0   (por baixo). E em x , entre 0 e π .

Substituindo tudo, nossa integral fica:

x - = 1 8   ∫ 0 π 4 x   s e n   x d x

Usando um CAS para resolver a integral (a gente vai usar aqui a calculadora CAS do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador):

x - = 1 8 ⋅ 4 π = π 2

Que até já era esperado, porque x = π 2 é um eixo de simetria da nossa região (metade do intervalo).

Passo 4

Agora a coordenada y - . A gente pode usar essa fórmula aqui:

y - = 1 m   ∫ a b δ 2 f x 2 - g x 2 d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = s e n   x (por cima) e y = 0   (por baixo). E em x , entre 0 e π .

Substituindo tudo, nossa integral fica:

y - = 1 8   ∫ 0 π 4 2 s e n   x 2 d x

Usando um CAS para resolver a integral (lembrando que a gente vai usar aqui a calculadora CAS do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador):

y - = 1 8   π = π 8

Temos que o nosso centro de gravidade está no ponto:

x - ,   y - = π 2 , π 8

Resposta

m = 8

x - ,   y - = π 2 , π 8

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