Mostrar que:

∫ - π π c o s 2 x c o s 3 x d x = 0

Passo 1

Nesse tipo de questão na qual há um produto de funções trigonométricas uma boa dica é sempre pensar nas relações de transformação de produto em soma.

Como temos um produto de cosseno por cosseno, podemos nos lembrar que nas fórmulas de cos(a+b) e cos(a-b) aparece esse produto.

c o s a + b = c o s a c o s b -   s e n a s e n b

c o s a - b = c o s a c o s b + s e n a s e n b

Passo 2

Seja a   =   3 x   e   b = 2 x

c o s 5 x = c o s 3 x c o s 2 x -   s e n 3 x s e n 2 x

c o s x = c o s 3 x c o s 2 x + s e n 3 x s e n 2 x

Somando as duas equações acima:

1 2 ( c o s 5 x + c o s x ) = c o s 3 x c o s 2 x  

Passo 3

∫ - π π c o s 2 x c o s 3 x d x   =   ∫ - π π 1 2 ( c o s 5 x + c o s x ) d x  

∫ - π π 1 2 c o s 5 x d x   + ∫ - π π 1 2 c o s x d x   = 1 2 s e n 5 π 5 - s e n - 5 π 5 + s e n π - s e n - π  

1 2 s e n 5 π 5 - s e n - 5 π 5 + s e n π - s e n - π = 0

Resposta

1 2 s e n 5 π 5 - s e n - 5 π 5 + s e n π - s e n - π = 0

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