Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 25
Use coordenadas esféricas.
Passo 1
Calcule o valor de:
Sob E que é a porção da esfera unitária que fica no primeiro octante.
Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:
Analisando a região dada no enunciado, com a restrição dada referente ao primeiro octante, podemos reescrever a integral já com os limites de integração dados e transformando as coordenadas para o sistema esférico, sendo assim:
Passo 2
Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:
Das relações fundamentais da trigonometria, temos: sendo assim, lançando mão dessa relação, podemos reescrever a integral como:
Passo 3
Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:
Sendo assim, temos que:
Resposta
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