Enunciado

Use coordenadas esféricas.

Passo 1

Calcule o valor de:

int int int x e^(x^2 + y^2 + z^2) d V

Sob E que é a porção da esfera unitária x^2 + y^2 + z^2 <= 1 que fica no primeiro octante.

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = rho s e n varphi cos theta , y = rho s e n varphi s e n theta , z = rho cos varphi , x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Analisando a região dada no enunciado, com a restrição dada referente ao primeiro octante, podemos reescrever a integral já com os limites de integração dados e transformando as coordenadas para o sistema esférico, sendo assim:

int_0^(pi // 2) int_0^(pi // 2) int_0^1 rho s e n varphi cos theta e^(rho^2) rho^2 s e n varphi d rho d theta d varphi

int_0^(pi // 2) int_0^(pi // 2) int_0^1 e^(rho^2) rho^3 s e n^2 varphi cos theta d rho d theta d varphi

Passo 2

Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:

int_0^(pi // 2) s e n^2 varphi d varphi int_0^(pi // 2) cos theta d theta int_0^1 rho^3 e^(rho^2) d rho

Das relações fundamentais da trigonometria, temos: s e n^2 x = (1 - cos 2 x) // 2 sendo assim, lançando mão dessa relação, podemos reescrever a integral como:

int_0^(pi // 2) (1)/(2) ( 1 - cos 2 varphi ) d varphi int_0^(pi // 2) cos theta d theta int_0^1 e^(rho^2) rho^3 d rho

Passo 3

Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:

[(1)/(2) varphi - (1)/(4) s e n 2 varphi]_0^(pi // 2) [s e n theta]_0^(pi // 2) [- (1)/(2) e^(rho^2) + (1)/(2) rho^2 e^(rho^2)]_0^1

[(pi)/(4) - 0] [1 - 0] [- (1)/(2) e + (1)/(2) e - (- (1)/(2)) + 0] = ((pi)/(4)) (1) ((1)/(2))

Sendo assim, temos que:

int int int x e^(x^2 + y^2 + z^2) d V = (pi)/(8)

Resposta

int int int x e^(x^2 + y^2 + z^2) d V = (pi)/(8)

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Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 ∫ - a 2 - x 2 - y 2 a 2 - x 2 - y 2 ( x 2 z + y 2 z + z 3 )d zd xd y
A latitude e a longitude de um ponto P no hemisfério norte estão relacionadas com as coordenadas esféricas ρ ,θ ,ϕ como a seguir. Tomamos a origem como o centro da Terra e o eixo z passando pelo norte
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