Enunciado

  1. Determine o volume delimitado pelo toro ρ = s e n ϕ
  2. Utilize um computador para desenhar o toro

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos começar pela letra ( b ) . Utilizando um programinha de geração gráfica, temos aqui abaixo o desenho de um toro:

Agora devemos determinar os limites de ρ ,   θ   e   ϕ .

Do enunciado temos a variação de ρ :

0 < ρ < s e n ϕ

Do desenho podemos ver que ϕ varia entre:

0 < ϕ < π

E θ :

0 < θ < 2 π

Relembrando que o diferencial de volume em coordenadas esféricas é: d V = ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ .

Agora é só calcular o volume!

Passo 2

Legal! Substituindo tudo na integral tripla temos:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 s e n ϕ ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ 3 3 0 s e n ϕ s e n ϕ   d ϕ d θ = 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n 4 ϕ   d ϕ   d θ = 2 π 3 ∫ 0 π s e n 4 d ϕ

Olhando numa tabela de integrais temos:

V = 2 π 3 3 8 ϕ - 1 4 s e n 2 ϕ + 1 16 s e n 4 ϕ   0 2 π = 2 π 3 . 3 8 . 2 π = π 2 4          

Beleza, vamos pra próxima?

Resposta

π 2 4

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Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 6 , π / 3 , π / 6 ) ( 3 , π / 2 , 3 π / 4 )
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 6 , π / 3 , π / 6 ) ( 3 , π / 2,3 π / 4 )
Mude de coordenadas retangulares para esféricas. ( 1,0 , 3 ) ( 3 , - 1,2 3 )
Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 2 ≤ ρ ≤ 4 ,0 ≤ ϕ ≤ π 3 ,0 ≤ θ ≤ π