Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 27
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Dentro tanto do cilindro e do elipsoide .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Em coordenadas polares, temos que:
Sendo assim, quando nos é dada a condição de que:
Sabemos que , logo:
Reescrevendo a equação do elipsoide, temos:
Por simetria, podemos dizer que:
Sabemos que o volume do sólido é dado por:
Onde será a região delimitada por:
Passo 2
Agora é só desenvolver. Como:
Resolvendo a integral de dentro, temos que aplicar a regra da substituição. Seja:
Analisando os intervalos, temos que:
Logo:
Logo:
Resolvendo, agora, temos:
Portanto o volume vale:
Resposta
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Usando coordenadas polares, calcular:f) ∫ 0 2 ∫ y 4 - y 2 x d x d y
Calcular ∬ R x 2 + y 2 d x d y , sendo R a região delimitada por x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 .
Calcular ∬ R x d x d y , sendo R a região delimitada por x 2 + y 2 - 4 x = 0 .
Usando coordenadas polares, calcular:g) ∫ 0 2 ∫ 0 y x d x d y
Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:a) Círculo centrado na origem de raio a .