Enunciado

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Dentro tanto do cilindro x 2 + y 2 = 4 e do elipsoide 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Em coordenadas polares, temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Sendo assim, quando nos é dada a condição de que:

x 2 + y 2 = 4

Sabemos que x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = r 2 , logo:

r 2 = 4

r = 2

Reescrevendo a equação do elipsoide, temos:

z 2 = 64 - 4 x 2 + y 2

z 2 = 64 - 4 r 2

z = ± 64 - 4 r 2

z = ± 2 16 - r 2

Por simetria, podemos dizer que:

z = 4 16 - r 2

Sabemos que o volume do sólido é dado por:

∬ D z d A

Onde D será a região delimitada por:

0 ≤ r ≤ 2 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora é só desenvolver. Como:

d A = r d r d θ

V = ∬ D z d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 16 - r 2 d A

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 16 - r 2 ⋅ r d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r 16 - r 2 d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, temos que aplicar a regra da substituição. Seja:

16 - r 2 = u

d u = - 2 r d r

Analisando os intervalos, temos que:

r = 0 → u = 16

r = 2 → u = 12

Logo:

∫ 0 2 4 r 16 - r 2 d r = ∫ 16 12 - 2 u d u

∫ 16 12 - 2 u d u = - 2 2 3 u 3 / 2 16 12

∫ 0 2 6 r - 3 r 3 d r = - 4 3 12 3 / 2 - 16 3 / 2

∫ 0 2 6 r - 3 r 3 d r = 4 3 64 - 24 3

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r 16 - r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π 4 3 64 - 24 3 d θ

Resolvendo, agora, temos:

∫ 0 2 π 4 3 64 - 24 3 d θ = 4 3 64 - 24 3 θ 0 2 π

∫ 0 2 π 4 3 64 - 24 3 d θ = 4 3 64 - 24 3 2 π

∫ 0 2 π 4 3 64 - 24 3 d θ = 8 π 3 64 - 24 3

Portanto o volume vale:

V = 8 π 3 64 - 24 3

Resposta

V = 8 π 3 64 - 24 3

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Usando coordenadas polares, calcular:f) ∫ 0 2 ∫ y 4 - y 2 x d x d y
Calcular ∬ R x 2 + y 2 d x d y , sendo R a região delimitada por x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 .
Calcular ∬ R x d x d y , sendo R a região delimitada por x 2 + y 2 - 4 x = 0 .
Usando coordenadas polares, calcular:g) ∫ 0 2 ∫ 0 y x d x d y
Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:a) Círculo centrado na origem de raio a .