Enunciado

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Use o diagrama para mostrar que se f é côncava para cima em [ a , b ] , então

f m e d > f a - b 2

Passo 1

Bom, galerinha, o teorema do valor médio para integrais nos diz que, se uma função f for contínua em [ a , b ] , então existe um número c em [ a , b ] tal que

f c = f m e d = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

A integral ∫ a b f ( x ) d x representa a área abaixo da curva azul e b - a ⋅ f a + b 2 representa a área dos dois retângulos. Podemos ver no gráfico que a área abaixo da curva azul é maior que a área dos retângulos! Assim, temos que:

∫ a b f ( x ) d x > b - a ⋅ f a + b 2

Passo 2

Vamos dividir por 1 b - a dos dois lados dessa inequação. Logo:

1 b - a ∫ a b f x d x > 1 b - a b - a ⋅ f a + b 2

1 b - a ∫ a b f x d x > f a + b 2

Como foi mostrado no passo anterior que f m e d = 1 b - a ∫ a b f x d x ,

f m e d > f a + b 2  

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