Enunciado

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla

∬ D 2 x + 3 y d A

D é o retângulo 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b

Passo 1

Este tipo de questão é interessante pois nos cobra o uso de propriedades (quando falamos de simetria estamos pensando na paridade de funções) ou na comparação do sólido com o volume de uma figura.

Vamos começar por entender a nossa região D. Como ela é uma região retangular, podemos escrever a integral dupla sem nos preocuparmos com a ordem de integração, pois, pelo Teorema de Fubini, temos:

∫ 0 a ∫ 0 b 2 x + 3 y d y d x = ∫ 0 b ∫ 0 a 2 x + 3 y d x d y

Agora, podemos resolver diretamente a nossa integral. Portanto,

∫ 0 b ∫ 0 a 2 x + 3 y d x d y = ∫ 0 b x 2 + 3 x y 0 a d y

∫ 0 b x 2 + 3 x y 0 a d y = ∫ 0 b ( a 2 + 3 a y ) d y

a 2 y + 3 a y 2 2 0 b = a 2 b + 3 a b 2 2

Resposta

∬ D 2 x + 3 y d A = a 2 b + 3 a b 2 2

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