Enunciado

Use um gráfico para estimar a intersecção com o eixo x da curva y = x + x 2 - x 4 . A seguir, use essa informação para estimar a área da região que se situa sob a curva e acima do eixo x .

Passo 1

Primeiro vamos estimar a intersesção com o eixo x da curva y = x + x 2 - x 4 , para isso vamos plotar o gráfico:

Pelo gráfico dá pra perceber que a interseção com o eixo x é em x = 0 e em mais ou menos x = 1,32 .

Passo 2

Agora vamos estimar a área da região que se situa sob a curva e acima do eixo x , para fazer isso devemos calcular a integral da curva de cima menos a de baixo, e usar os limites de integração com os pontos de intersecção que acabamos de achar.

A curva de cima é y = x + x 2 - x 4 , a de baixo é o eixo x , que seria y = 0 , vamos agora montar a integral:

A = ∫ 0 1,32 x + x 2 - x 4 - 0   d x = ∫ 0 1,32 x + x 2 - x 4   d x = ∫ 0 1,32 x d x + ∫ 0 1,32 x 2 d x + ∫ 0 1,32 - x 4 d x

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ x + x 2 - x 4   d x = ∫ x   d x + ∫ x 2 d x + ∫ - x 4 d x

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

∫ x   d x = x 1 + 1 1 + 1 = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 2 + 1 2 + 1 = x 3 3 + C

∫ - x 4 d x = - 1 ∫ x 4 d x = - 1 x 4 + 1 4 + 1 = - x 5 5 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

A = ∫ 0 1,32 x d x + ∫ 0 1,32 x 2 d x + ∫ 0 1,32 - x 4 d x = x 2 2 0 1,32 + x 3 3 0 1,32 + - x 5 5 0 1,32 = 1,32 2 2 - 0 2 2 + 1,32 3 3 - 0 3 3 + - 1,32 5 5 - - 0 5 5 ≈ 0,8 4

Resposta

Intersecção em x = 0 e x ≈ 1,32

A ≈ 0,8 4

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