Enunciado

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desse livro

Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução.

∫ x n   e x   d x = x n e x - n ∫ x n - 1   e x   d x

Passo 1

Basicamente, o que precisamos fazer nessa questão é aplicar integração por partes para chegar na expressão dada. Relembrando como se usa integral por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Assim, vamos chamar u = x n e d v = e x d x e ver no que dá...

Passo 2

Chamando u = x n e d v = e x d x , temos que d u = n   x n - 1   d x e v = e x . Assim,

∫ x n   e x   d x = x n ⋅ e x - ∫ n   x n - 1 ⋅ e x   d x

Passo 3

Desta forma, chegamos exatamente no que queríamos demonstrar!

∫ x n   e x   d x = x n e x - n ∫ x n - 1   e x   d x

Resposta

Demonstração.

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