Use Lh’ospital o limite lim x → 0   ⁡ 2 - s e n x - 1 e x - 1  

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’oshpital, precisamos deixar nosso limite da forma 0 0 ou ∞ ∞ . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

lim x → 0   ⁡ 2 - s e n x - 1 e x - 1   = 2 - s e n 0 - 1 e 0 - 1 = 1 - 1 1 - 1 = 0 0

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido já está forma que desejamos, então é só aplicar Lh’hospital. Ou seja, vamos derivar o numerador e, em seguida, derivar o denominador. Daí, nosso limite fica

lim x → 0   ⁡ 2 - s e n x - 1 e x - 1   =   l i m x → 0   ln ⁡ 2   2 - s e n x ⋅ - c o s x e x =   l i m x → 0   - l n 2   c o s x     2 - s e n x e x

Passo 3

Fazendo a substituição do limite,

l i m x → 0   - l n 2   c o s x     2 - s e n x e x = - l n 2   c o s 0   2 0 e 0 =   - l n 2

Resposta

lim x → 0   ⁡ 2 - s e n x - 1 e x - 1   =   - l n 2

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