Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 6.3 - Ex. 10

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desse livro

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y .

y = x ,   x = 0 ,   y = 2  

Passo 1

Usando a formula para o volume do sólido de rotação em relação ao eixo y ,   ou seja,

V = ∫ a b 2 π x f x   d x  

Temos que a altura corresponde a própria curva .

(elevando y = x ao quadrado )

Já a circunferência, como não iniciamos a rotação de zero, é dada por x   .  

Além disso, note que a interseção ocorre em y = 0 e y = 2

Sendo assim,

V =   ∫ 0 2 2 π y   y 2 d y = 2 π ∫ 0 2   y 3 d y   = 2 π ⋅ y 4 4 ​ 0 2 = 2 π ⋅ 4  

V = 8 π

Resposta

V = 8 π

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