Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y .

y = x ,   x = 0 ,   y = 2  

Passo 1

O enunciado pede pra a gente usar o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y .

y = x ,   x = 0 ,   y = 2

Só pra ficar mais claro, o que queremos é isso daqui:

A formula para o volume do sólido de rotação em relação ao eixo y ,   tem essa carinha aqui:

V = ∫ a b 2 π x f x   d x  

Onde:

2 π x = c i r c u n f e r ê n c i a

f x = a l t u r a

d x = e s p e s s u r a

Passo 2

Queremos volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y , então temos que derivar em relação a y :

y = x → x = y 2

A interseção ocorre em y = 0 e y = 2 então esses vão ser nossos limites de integração. Sendo assim:

V =   ∫ 0 2 2 π y   y 2 d y

V = 2 π ∫ 0 2   y 3 d y   = 2 π ⋅ y 4 4 ​ 0 2 = 2 π ⋅ 4  

V = 8 π

Resposta

V = 8 π

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