Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação corretas até a oitava casa decimal. Comece fazendo um gráfico para encontrar a primeira aproximação inicial.

e - x 2 = x 2 - x

Passo 1

Queremos encontrar as raízes da função:

f x = e - x 2 - x 2 + x

Usando o método de Newton, as aproximações são dadas pela fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Temos:

f x = e - x 2 - x 2 + x

f ' x = - 2 x e - x 2 - 2 x + 1 = - 2 x e - x 2 + 1 + 1

Então a fórmula fica:

x n + 1 = x n + e - x n 2 - x n 2 + x n 2 x n 1 + e - x n 2 - 1

Agora basta escolher uma aproximação inicial adequada, e então aplicar a fórmula até os resultados não diferirem na sexta casa decimal.

Passo 2

Para escolher o valor inicial olhamos um esboço das funções e - x 2 e x 2 - x .

Temos duas raízes, uma entre 0 e -1 e uma entre 1 e 2. Usaremos para a primeira raiz uma aproximação x 1 = - 0,25 , e para o segundo x 1 = 1 .

Passo 3

Vamos calcular a primeira raiz. Calculamos as próximas aproximações:

x 1 = - 0.25

x 2 = - 0.25 + e - - 0.25 2 - - 0.25 2 - 0.25 2 - 0.25 1 + e - - 0.25 2 - 1 = - 0.5682773945

x 3 = - 0.5682773945 + e - - 0.5682773945 2 - - 0.5682773945 2 - 0.5682773945 2 - 0.5682773945 1 + e - - 0.5682773945 2 - 1

= - 0.5117806679

x 4 = - 0.5117806679 + e - - 0.5117806679 2 - - 0.5117806679 2 - 0.5117806679 2 - 0.5117806679 1 + e - - 0.5117806679 2 - 1

= - 0.510312606

x 5 = - 0.510312606 + e - - 0.510312606 2 - - 0.510312606 2 - 0.510312606 2 - 0.510312606 1 + e - - 0.510312606 2 - 1

= - 0.5103115569

x 6 = - 0.5103115569 + e - - 0.5103115569 2 - - 0.5103115569 2 - 0.5103115569 2 - 0.5103115569 1 + e - - 0.5103115569 2 - 1 = - 0.5103115569

Como x 5 e x 6 não diferem até a oitava casa decimal:

r 1 = 0.51031156

Passo 4

Fazemos o mesmo procedimento para achar a outra raiz:

x 1 = 1

x 2 = 1 + e - 1 2 - 1 2 + 1 2 1 + e - 1 2 - 1 = 1.2119415576

x 3 = 1.2119415576 + e - 1.2119415576 2 - 1.2119415576 2 + 1.2119415576 2 1.2119415576 1 + e - 1.2119415576 2 - 1

= 1.1984896933

x 4 = 1.1984896933 + e - 1.1984896933 2 - 1.1984896933 2 + 1.1984896933 2 1.1984896933 1 + e - 1.1984896933 2 - 1

= 1.1984387126

x 5 = 1.1984387126 + e - 1.1984387126 2 - 1.1984387126 2 + 1.1984387126 2 1.1984387126 1 + e - 1.1984387126 2 - 1

= 1.1984387119

Como x 4 e x 5 não diferem até a oitava casa decimal:

r 2 = 1.19843871

Resposta

r 1 = 0.51031156

r 2 = 1.19843871

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