Enunciado

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função.

∫ 3 x cos ⁡ t t d t

Passo 1

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz que se temos uma função f contínua em um intervalo [ a ,   b ] e tivermos uma função g definida por:

g x = ∫ a x f t d t

No intervalo a ,   b , então a função g tem derivada pro intervalo ( a ,   b ) e ela é igual a:

g ' x = f ( x )

Mas agora temos uma diferença. Ao invés de aparecer x nos limites de integração, aparece x , então não conseguimos calcular a derivada diretamente pelo teorema. Temos que usar aqui a regra da cadeia: primeiro derivamos a integral em relação a x e depois derivamos x em relação a x :

d g d x = d g d x d x d x

Passo 2

Usando o Teorema, se tratarmos primeiro x como a variável, derivamos assim:

d d x ∫ 3 x cos ⁡ t t d t = cos ⁡ x x

Agora, pra completar a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de x em relação a x , que é 1 / 2 x :

d d x ∫ 3 x cos ⁡ t t d t = cos ⁡ x x ⋅ 1 2 x = cos ⁡ x 2 x

Resposta

d d x ∫ 3 x cos ⁡ t t d t = cos ⁡ x 2 x

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