Enunciado

Use a parte 1 do teorema fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função:

y = ∫ 0 t g x t + t   d t

Passo 1

Queremos calcular essa integral feiosa aí:

y = ∫ 0 t g x t + t   d t

Pra isso, vamos usar o teorema fundamental do cálculo! Ele é assim: se g x = ∫ 0 x f t d t , então g ' x = f ( x ) . Vamos tentar aplicar aqui no nosso caso. A gente vai usar a propriedade de que podemos decompor a derivada assim, ó:

d y d x = d y d u d u d x

E então a nossa vai ser assim:

d g x d x = d d x ∫ 0 x f t d t = d d u ∫ 0 x f t d t d u d x  

Passo 2

Então bora lá! Vamos substituir o limite de integração por u :

u = t g x

d u d x = sec 2 ⁡ x

Então vamos escrever do jeito esperto que vimos no passo 1 :

d y d x = d d u ∫ 0 u t + t   d t d u d x  

Aí é só substituir!

d y d x = u + u × sec 2 ⁡ x

Voltando pra t g x , chegamos na resposta!

d y d x = t g x + t g x × sec 2 ⁡ x

Resposta

d y d x = t g x + t g x × sec 2 ⁡ x

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∫ - 3 - 2 t - 1 t 2d t
∫ - 1 1 x 2 d x x 3 + 9
Verificar se o resultado das seguintes integrais é postivo, negativo ou zero, sem calculá-las ∫ 0 2 π s e n t d t
Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade: ∫ π / 2 3 π / 2 - c o s x d x ≥ 0