Enunciado

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função.

y = ∫ 1 3 x + 2 t 1 + t 3 d t

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que usar a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função:

y = ∫ 1 3 x + 2 t 1 + t 3 d t

Lembrando que, segundo a parte 1 do teorema fundamental do cálculo temos que se:

g x = ∫ a x f t d t

Então:

g ' x = f ( x )

Ou seja:

d d x ∫ a x f t d t = f ( x )

Passo 2

Beleza, nossa função é:

y = ∫ 1 3 x + 2 t 1 + t 3 d t

Para encaixar a nossa integral na parte 1 do teorema fundamental do cálculo temos que fazer uma substituição no limite de integração superior:

u = 3 x + 2

Derivando:

d u d x = 3

Pela regra da cadeia a gente pode escrever:

d y d x = d y d u d u d x

Se derivarmos a função y , vamos ter:

d y d x = d d x ∫ 1 3 x + 2 t 1 + t 3 d t

Substituindo y na regra da cadeia:

d y d x = d d u ∫ 1 3 x + 2 t 1 + t 3 d t d u d x

Mas 3 x + 2 = u e d u d x = 3 . Substuindo:

d y d x = d d u ∫ 1 u t 1 + t 3 d t 3

Passo 3

Chegamos em:

d y d x = d d u ∫ 1 u t 1 + t 3 d t 3

Pela parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo:

d d x ∫ a x f t d t = f ( x )

Então podemos concluir que:

d d u ∫ 1 u t 1 + t 3 d t = f ( u )

Assim:

f t = t 1 + t 3

Então:

f u = u 1 + u 3

Agora vamos voltar na nossa derivada principal e substituir:

d y d x = d d u ∫ 1 u t 1 + t 3 d t 3

d y d x = u 1 + u 3 3

Substituindo o u :

d y d x = 3 3 x + 2 1 + 3 x + 2 3

d y d x = 9 x + 6 1 + 3 x + 2 3

Prontinho!

Resposta

y ' = 9 x + 6 1 + 3 x + 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade: ∫ 0 π s e n x d x ≥ 0
Se ∫ 0 π 2 9 cos 2 ⁡ t d t= 9 π 4 Calcular ∫ 0 π 2 - cos 2 ⁡ θ d θ
∫ 1 5 2 x - 1 d x
Se f ( x ) é continua em m ≤ f x para todo x em [a,b], provar que: m b - a ≤∫ b a f x d x Ilustrar graficamente, suponde m0 .
Mostrar que: ∫ - π π s e n 2 x c o s 5 x d x = 0