Enunciado

Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10 para encontrar o menor e o maior valor possível da integral a seguir.

∫ 1 4 | x - 1 | d x

Passo 1

Como visto nos exercícios anteriores temos as seguintes relações

(i) Se f ( x )   é continua em m ≤ f x para todo x em [a,b], então, segue que

m b - a ≤   ∫ b a f x d x

(ii) Se f ( x )   é continua em f x ≤ M para todo x em [a,b], então , segue que

∫ b a f x d x ≤   M b - a

A relação (i) nos permite calcular o menor valor da integral enquanto pela relação (ii) podemos calcular o seu valor máximo.

Mas para pra refletir quem são esses valores e como econtrá-los, lembra do teorema de Weierstrass ??

Vamos relembrá-lo...

Se f é uma função contínua num intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo M e seu valor mínimo m, no intervalo [a,b]. Isso garante a existência de x m á x i m o   e x m i n i m o no intervalo, de modo que

f x m i n i m o ≤ f x ≤ f ( x m a x i m o )

Para todo x do nosso intervalo.

Se integrarmos a desigualdade acima chegamos nas relações (i) e (ii).

m b - a = f x m i n i m o b - a ≤ ∫ b a f x d x ≤   f x m a x i m o b - a = M ( b - a )

Passo 2

Vamos analisar essa função modular para x   ϵ   [ 1,4 ] , essa função possui um bico justamente para x = 1, pois é onde ela se anula de modo que

f x = 1 - x ,     x < 1 x - 1 ,     x ≥ 1

Para valores de x   ≥ 1   essa função é estritamente crescente, logo apresenta valor máximo para x=4 nesse intervalo e mínimo para =1.

m = f 1 = 0   e   M = f 4 = 3

Passo 3

O valor máximo e minimo da integral será:

f 1 4 - 1 = 0 ≤ ∫ - 2 4 2 x 2 d x ≤   f 4 4 - 1 = 3 × 3 = 9

0 ≤ ∫ - 2 4 2 x 2 d x ≤ 9

Resposta

Valor mínimo = 0

Valor máximo = 9

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se f 1 = 12, f ' é contínua e ∫ 1 4f ' xd x = 17 . Qual o valor de f 4 ?
Em que intervalo a curva y = ∫ 0 x t 2 t 2 + t + 2d t é côncava para baixo?
Calcule a integral. ∫ - 1 1 t 1 - t 2d t
Calcule a integral. ∫ - 2 0 1 2 t 4 + 1 4 t 3 - t d t
Calcule a integral. ∫ 0 2 2 x - 3 4 x 2 + 1d x