Enunciado

Use a parte 1 do Teorema fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função

y = ∫ 1 - 3 x 1 u 3 1 + u 2   d u  

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = ∫ 1 - 3 x 1 u 3 1 + u 2   d u  

Para isso, devemos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Bom... Sabemos que, da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que se

g x = ∫ a x f t   d t

Então

g ' x = f ( x )

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Pra começar a resolução, vamos fazer algumas considerações. Seja w tal que

w = 1 - 3 x

Diferenciando, ficamos com

d w d x = - 3

Pela regra da cadeia, sabemos que

d y d x = d y d w d w d x

Passo 3

Antes de começarmos, vamos alterar os limites de integração, basta colocar o sinal de na frente e trocar os limites, então

y = - ∫ 1 1 - 3 x u 3 1 + u 2   d u  

Agora, vamos derivar a função dada:

d y d x = d d x - ∫ 1 1 - 3 x u 3 1 + u 2   d u  

Lembra que dizemos que   w = 1 - 3 x ? Então, usando a regra da cadeia, podemos substituir e ficamos com

d y d x = - d d w ∫ 1 w u 3 1 + u 2   d u   d w d x

Então, pela parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo, e substituindo w a gente consegue ver que

y ' = - w 3 1 + w 2 ⋅ - 3 ∴

y ' = 3 1 - 3 x 3 1 + 1 - 3 x 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = 3 1 - 3 x 3 1 + 1 - 3 x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja g x = ∫ 0 x f t d t Onde f é a função cujo gráfico está mostrado.Em que valores de x ocorrem os valores de máximos e mínimos locais em g ?Onde g atinge seu valor máximo absoluto?Em que intervalos
Encontre uma função f e um número a tais que 6 + ∫ a x f t t 2 d t = 2 x , ∀x0
Considere f x = 0 , s ex0 x , s e0 ≤ x ≤ 1 2 - x , s e1x ≤ 2 0 , s ex2 E g x = ∫ 0 x f t d t Ache uma expressão para g ( x ) similar àquela para f ( x ) Esboce os gráficos de f e g Onde f é derivável?
Uma empresa possui uma máquina que se deprecia a uma taxa contínua f = f t , onde t é o tempo medido em meses desde seu ultimo recondicionamento. Como a cada vez mais a máquina é recondicionada incorr
Uma companhia de alta tecnologia compra um novo sistema computacional cujo valor inicial é V . O sistema depreciará a uma taxa f = f ( t ) e acumulará custos de manutenção a uma taxa g = g ( t ) , ond