Enunciado

Considere

f x = 0 ,     s e   x < 0 x ,     s e   0 ≤ x ≤ 1 2 - x ,     s e   1 < x ≤ 2 0 ,     s e   x > 2

E

g x = ∫ 0 x f t d t

  1. Ache uma expressão para g ( x ) similar àquela para f ( x )
  2. Esboce os gráficos de f e g
  3. Onde f é derivável? Onde g é derivável?

Passo 1

Eaeee, belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x dada daseguinte forma:

f x = 0 ,     s e   x < 0 x ,     s e   0 ≤ x ≤ 1 2 - x ,     s e   1 < x ≤ 2 0 ,     s e   x > 2

E nos diz que g x é uma função dada da seguinte forma:

g x = ∫ 0 x f t d t

Com isso, a questão nos pede para encontrar uma expressão para g x da mesma forma que f x , ou seja, com aqueles intervalos dados.

Para isso, temos que calcular a integral de f x para cada intervalo dado.

Ademais, a questão também nos pede para esboçar os dois gráficos e dizer onde cada função é derivável, ou seja, aqui deveremos verificar se há descontinuidade.

Muita coisa, né? Então vamos devagarinho que vai dar certo!! 😉

Passo 2

Vamos fazer a letra a) resolvendo a integral para cada intervalo de f x a fim de encontrarmos g x .

Se x < 0 temos que:

g x = ∫ 0 x f t d t ∴

g x = ∫ 0 x 0 d t ∴

g x = 0

Se 0 ≤ x ≤ 1 temos que:

g x = ∫ 0 x f t   d t ∴

g x = ∫ 0 x t   d t ∴

g x = t 2 2 0 x ∴

g x = x 2 2

Se 1 < x ≤ 2 temos que:

g x = ∫ 0 x f t d t ∴

g x = ∫ 0 1 f t d t + ∫ 1 x f t d t ∴

g x = g 1 + ∫ 1 x 2 - t d t ∴

g x = 1 2 1 2 + 2 t - t 2 2 1 x ∴

g x = 1 2 + 2 x + x 2 x - 2 - 1 2 ∴

g x = 2 x - x 2 2 - 1

Se x > 2 :

g x = ∫ 0 x f t d t ∴

g x = ∫ 0 2 f t d t + ∫ 2 x f t d t ∴

g x = g 2 + ∫ 2 x 0 d t ∴

g x = 1 + 0 = 1

Então, podemos escrever g ( x ) como

g x = 0 ,     s e   x < 0 x 2 2 ,     s e   0 ≤ x ≤ 1 2 x - x 2 2 - 1 ,     s e   1 < x ≤ 2 1 ,     s e   x > 2

Passo 3

Para esboçar os gráficos, a gente só tem que olhar para os intervalos 0 ≤ x ≤ 1 e 1 ≤ x ≤ 2 , pois o resto é zerado.

Assim, fazendo f x , temos o seguinte esboço:

E, para g x , de forma análoga, temos o seguinte esboço:

Passo 4

A função f não é diferenciável nos “bicos”, então f não é diferenciável nos pontos x = 0 ,   1   e   2 .

Assim, f   é diferenciável nos intervalos:

- ∞ , 0 ,   0,1 ,   1,2   e   2 , ∞

A função g é diferenciável em todo seu domínio, ou seja, no intervalo

- ∞ , ∞

Resposta

g x = 0 ,     s e   x < 0 x 2 2 ,     s e   0 ≤ x ≤ 1 2 x - x 2 2 - 1 ,     s e   1 < x ≤ 2 1 ,     s e   x > 2

(c) f   é diferenciável no intervalo

- ∞ , 0 ,   0,1 ,   1,2   e   2 , ∞

A função g é diferenciável em todo seu domínio, ou seja, no intervalo

- ∞ , ∞

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Se ∫ - 2 2 3 f ( x )d x = 12 , ∫ - 2 5 f ( x )d x = 6 , ∫ - 2 5 g ( x )d x = 2 , determine ∫ - 2 2 f ( x )d x
Se ∫ - 2 2 3 f ( x )d x = 12 , ∫ - 2 5 f ( x )d x = 6 , ∫ - 2 5 g ( x )d x = 2 , determine ∫ 5 - 2 g ( x )d x
Se ∫ 0 2 f ( x )d x = π , ∫ 0 2 7 g ( x )d x = 7 , ∫ 0 1 g ( x )d x = 2 , determine ∫ 0 2 g ( x )d x
Expresse o limite com uma integral definida . Depois, calcule a integral para determinar o valor do limite. P é uma partição do intervalo dado e os números c k são escolhidos dentro dos subintervalos
Se ∫ 0 2 f ( x )d x = π , ∫ 0 2 7 g ( x )d x = 7 , ∫ 0 1 g ( x )d x = 2 , determine ∫ 0 2 g ( x )d x