Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x^3 + x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A questão pede para usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada.

Para isso, devemos achar as raízes, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, análise da concavidade e, daí, esboçar o gráfico.

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para o ponto que corta o eixo y , basta tomar x = 0 , assim o ponto onde isso ocorre é: y = 0 .

Vemos então que a curva passa pela origem ( 0,0 ) . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

x 3 + x = 0

x   x 2 + 1 = 0

A única raiz é x = 0 pois x 2 + 1 não pode ser zero no conjunto dos reais. Assim, o único ponto de interseção com os eixos coordenados é ( 0,0 ) .

Passo 4

Vamos ver se y = f ( x ) tem algum tipo de simetria trocando x por – x :

f - x = - x 3 + - x = - x 3 - x = - x 3 + x = - f ( x )

Como f - x = f ( x ) , y é uma função ímpar simétrica com relação à origem.

Passo 5

Como se trata de um polinômio, y não tem assíntotas:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + x = - ∞

lim x → ∞ ⁡ x 3 + x = + ∞

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar y :

y ' = 3 x 2 + 1

Note que 3 x 2 ≥ 0 , de modo que y ' > 0 , assim y é estritamente crescente para todo x real. Assim, a função não tem extremos locais nem globais.

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y ' ' = 6 x

Assim,

O ponto ( 0,0 ) é um ponto de inflexão.

Então abaixo nosso gráfico:

Resposta

Esboço da curva:

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