Enunciado

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Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x 3 + x

Passo 1

A questão pede para usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada. Para isso, devemos achar as raízes, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, análise da concavidade e, daí, esboçar o gráfico.

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para o ponto que corta o eixo y , basta tomar x = 0 , assim, y = 0 . Vemos então que a curva passa pela origem ( 0,0 ) . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

x 3 + x = 0

x   x 2 + 1 = 0

Como x 2 + 1 ≥ 1 > 0 , a única raiz é x = 0 . Assim, o único ponto de interseção com os eixos coordenados é ( 0,0 ) .

Passo 4

Vamos ver se y = f ( x ) tem algum tipo de simetria trocando x por – x : f - x = - x 3 + - x = - x 3 - x = - x 3 + x = - f ( x ) . Como f - x = f ( x ) , y é uma função ímpar simétrica com relação à origem.

Passo 5

Como se trata de um polinômio, y não tem assíntotas:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + x = - ∞

lim x → ∞ ⁡ x 3 + x = + ∞

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar y :

y ' = 3 x 2 + 1

Note que 3 x 2 ≥ 0 , de modo que y ' > 0 , assim y é estritamente crescente para todo x real. Assim, a função não tem extremos locais nem globais.

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y ' ' = 6 x

Assim,

O ponto ( 0,0 ) é um ponto de inflexão.

Resposta

Esboço da curva:

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Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de sua derivada em I-IV. Dê razões para suas escolhas.
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Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 3 - 2 x     ,   x ≤ 5
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Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 1 + x + 1 2     ,   - 2 ≤ x < 5