Enunciado

Use a sére binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.

f x = 8 + x 3

Passo 1

Podemos montar escrever a função como:

f x = 8 + x 1 3 = 2 1 + x 8 1 / 3 = 2 ∑ n = 0 ∞ 1 3 n x 8 n  

Expandindo alguns elementos, temos

f x = 2 1 + 1 3 x 8 + 1 3 - 2 3 2 ! x 8 2 + 1 3 - 2 3 - 5 3 3 ! x 8 3 + ⋯

f x = 2 1 + 1 24 x + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋯ 3 n - 4 3 n ⋅ 8 n ⋅ n !   x n

Passo 2

A partir do passo 1 podemos fazer

f x = 2 + 1 12 x + 2 ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋯ 3 n - 4 3 n ⋅ 8 n ⋅ n ! x n  

Pelo critério de convergência, temos que

x 8 < 1

Logo o raio de convergência é R = 8 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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