Enunciado

  1. Use a soma dos dez primeiros termos para estimar a soma da série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Quão boa é essa estimativa?
  2. Melhore essa estimativa usando [ 3 ] com n = 10 .
  3. Compare sua estimativa da parte (b) com o valor exato dado no Exercício 34.
  4. Encontre um valor de n que garante que o erro na aproximação s ≈ s n seja menor que 0,001 .

Passo 1

Para o item (b) temos que

Passo 2

  1. Primeiramente vamos somar os 10 primeiros termos
  2. ∑ n = 1 10 1 n 2 ≈ 1 1 2 + 1 2 2 + … + 1 10 2 ≈ 1.549768

    Agora tomando que f x = 1 / x 2 é sempre positiva e para todo x > 0 é uma função contínua e além disso f ' x = - 2 / x 3 é negativa para x > 0 . Então podemos aplicar o teste da integral.

    R 10 ≤ ∫ 10 ∞ 1 x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 x 10 t = lim t → ∞ ⁡ - 1 t + 1 10 = 1 10

    Que mostra ter um erro de 0.1

    Passo 3

  3. Aplicando [3]
  4. s 10 + ∫ 11 ∞ 1 x 2 d x ≤ s ≤ s 10 + ∫ 10 ∞ 1 x 2 d x   → s 10 + 1 11 ≤ s ≤ s 10 + 1 10

    Assim

    = 1 , 640677 ≤ s ≤ 1,649768

    Então diremos que

    s ≈ 1,64522

    Que é o valor médio.

    Passo 4

  5. O valor exato do exercício 34 é π 2 / 6 ≈ 1,644934
  6. Uma diferença de menos que 0,0003

    Passo 5

  7. Seja

R n ≤ ∫ n ∞ 1 x 2 d x = 1 n

Então R n < 0,001 se

1 n < 1 1000 → n = 1000

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O que está errado com o seguinte cálculo? 0 = 0 + 0 + 0 + … = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + … = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + … = 1 + - 1 + 1 + - 1 + 1 + - 1 + 1 + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1
Se a n -ésima soma parcial de uma série ∑ n = 1 ∞ a n for s n = 3 - n 2 - n Encontre a n e ∑ n = 1 ∞ a n .
A figura exibe dois círculos C e D de raio 1 que se tocam em P . T é uma reta tangente comum; C 1 é o circulo que toca C , D e T ; C 2 é o circulo que toca C , D e C 1 ; C 3 é o circulo que toca C , D
Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequencias de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se for convergente, c
Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequencias de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se for convergente, c