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Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade:

0 ≤ ∫ 5 9 1 x - 1 d x ≤ 2

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

O primeiro passo para a resolução da questão é então usar o teorema para comparar o valor da integral com esse número χ no intervalo [ 5 ,   9 ] .

Passo 2

Aplicando o teorema, temos a seguinte igualdade:

∫ 5 9 1 x - 1 d x = 1 x - 1 9 - 5 = 4 x - 1

Pra χ ∈ [ 5 ,   9 ] é claro que o valor 4 x - 1 é maior que zero. Além disso, o maior valor que a expressão pode ter é 4 5 - 1 = 4 4 = 4 2 = 2 . Então fica provado que 0 ≤ ∫ 5 9 1 x - 1 d x ≤ 2 .

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