Enunciado

Utilize as coordenadas esféricas.

a) Determine o volume do sólido que está acima do cone ϕ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 4 cos ⁡ ϕ .

b) Encontre o centroide do sólido da parte (a).

Passo 1

Em coordenadas esféricas, o volume de um sólido é dado por

V = ∭ D ρ 2   s e n   ϕ   d ρ   d θ   d ϕ

Já o centroide (ou centro de massa) é calculado através dos momentos:

x - = M y z V ,   y - = M x z V   e   z - = M x y V

onde

M y z = ∭ D x   d V ,   M x z = ∭ D y   d V   e   M x y = ∭ D z   d V

A esfera ρ = 4 cos ⁡ ϕ é esboçada a seguir:

Note a simetria com relação aos eixos x e y . Assim, como as funções x e y são ímpares, as integrais M y z e M x z serão nulas, de modo que x - = y - = 0 .

Passo 2

Neste passo vamos calcular o volume do sólido. Como queremos apenas a região acima do cone ϕ = π / 3 , a variável ϕ ficará restrita ao intervalo [ 0 , π / 3 ] , enquanto ρ vai variar de 0 até 4 cos ⁡ ϕ . Além disso, como os limites de integração de ρ dependem de ϕ , devemos primeiro integrar em ρ :

V = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 3 s e n   ϕ   d ϕ   ∫ 0 4 cos ⁡ ϕ ρ 2   d ρ

Portanto,

V = 2 π 3 ⋅ 4 3 ∫ 0 π 3 cos 3 ⁡ ϕ   s e n   ϕ   d ϕ

Chamando u = cos ⁡ ϕ , temos que d u = - s e n   ϕ   d ϕ :

V = - 128 π 3 ∫ 1 1 2 u 3   d u = - 32 π 3   u 4 1 1 2 = 32 π 3 1 - 1 16 = 10 π

Passo 3

Já sabemos que x - = y - = 0 , falta apenas calcular z - :

z - = M x y V = 1 10 π ∭ D z   d V

Em coordenadas cilíndricas, z = ρ cos ⁡ ϕ , de modo que

∭ D z   d V = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 3 s e n   ϕ   d ϕ   ∫ 0 4 cos ⁡ ϕ ρ 3 cos ⁡ ϕ   d ρ

Assim,

∭ D z   d V = 2 π 4 ⋅ 4 4 ∫ 0 π 3 cos 5 ⁡ ϕ   s e n   ϕ   d ϕ

Fazendo u = cos ⁡ ϕ :

∭ D z   d V = 128 π   ∫ 1 2 1 u 5 d u = 128 π 6 1 - 1 64 = 64 π 3 ⋅ 63 64 = 21 π

Portanto,

z - = 1 10 π ⋅ 21 π = 21 10

Resposta

a)   10 π

b) 0 ,   0 , 21 10

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