Enunciado

Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ B x 2 + y 2 + z 2 2 d V , onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

Vamos lembrar a forma das coordenadas esféricas:

∭ E f x , y , z d V = ∫ c d ∫ α β ∫ a b f ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ , ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ , ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Onde E é uma cunha esférica dada por:

E = ρ , θ , ϕ | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ θ ≤ β , c ≤ ϕ ≤ d

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ                 y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ                 z = ρ cos ⁡ ϕ

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Temos então que:

0 ≤ ρ ≤ 5

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π

Pronto, agora é só substituir:

∭ B x 2 + y 2 + z 2 2 d V = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 5 ρ 2 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 5 ρ 6 d ϕ = - cos ⁡ ϕ 0 π θ 0 2 π ρ 7 7 0 5 = - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 2 π - 0 5 7 7 - 0 7 7 = 1 + 1 2 π 5 7 7 ≈ 140249,7

Resposta

∭ B x 2 + y 2 + z 2 2 d V ≈ 140249,7

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Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 + z 2 ) d V , onde T é a região delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .
Calcular ∭ T ( x 2 + y 2 ) d V , onde T é o sólido delimitado por 4 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 .
Calcular as seguintes integrais: ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 ∫ 0 2 - x 2 - y 2 1 2 + x 2 + y 2 + z 2 d z . d y . d x
Calcule o volume do elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1
Calcule o volume do conjunto x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 ⋅ a ⋅ z e z ≥ x 2 + y 2 , a0 .