Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   x y   d S

S é a região triangular com vértices 1 ,   0 ,   0   ,   0 ,   2 ,   0 e 0 ,   0 ,   2 .

Passo 1

Galera, aqui S vai ser a região do plano z = 2 - 2 x - y sobre D = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 2 - 2 x } . Então a integral vai ficar assim:

∫ ∫ S   x y   d S = ∫ ∫ D   x y 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x x y 1 + ( - 2 ) 2 + ( - 1 ) 2   d y   d x = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x 6   x y   d y   d x

Passo 2

Show! Agora podemos calcular a integral dupla normalmente:

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x 6   x y   d y   d x = ∫ 0 1 6 x y 2 2 0 2 - 2 x d x = ∫ 0 1 6 2 x - 4 x 2 + 2 x 3   d x = 6 x 2 - 4 x 3 3 + x 4 2 0 1 = 6 1 - 4 3 + 1 2 = 6 6

Resposta

6 6

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