Enunciado

Utilize o Teorema de Clairaut para mostrar que, se as derivadas parciais de terceira ordem de f forem contínuas, então

f x y y = f y x y = f y y x

Passo 1

Show de bola, galera! Preparem-se para a sopa de letrinhas

Sabemos que, pelo Teorema de Clairaut, para funções com segunda derivada contínua, f x y = f y x . Ou seja, basta trocar a ordem de integração, ou, melhor, trocar os índices que indicam essa ordem.

No nosso caso, vamos fazer:

f x y y = f x y y = ⏟ I n v e r t e   a   o r d e m f y x y = f y x y ∴ f x y y = f y x y

Seguindo a mesma lógica, temos que:

f y x y = f y x y = ⏟ I n v e r t e   a   o r d e m f y y x = f y y x ∴ f y x y = f y y x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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14. Seja z = ∫ 1 x 2 - y 2 [ ∫ 0 u s e nt 2 d t ]d u . Calculea) ∂ 2 z ∂ x∂ y b) ∂ 2 z ∂ x 2
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15. Seja z = f x , y ,x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x∂ y e ∂ 2 f ∂ y∂ x são contínuas em A. Seja ( x 0 , y 0 ) um ponto qualquer de A ; sej
Seja z = f ( x , y ) , x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x∂ y e ∂ 2 f ∂ y∂ x são contínuas em A . Seja ( x 0 ,y 0 ) um ponto qualquer de A ; se
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