Enunciado

Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.

∫ ( 0,0 ) ( 2,1 ) ( - e x cos ⁡ y d x + e x   s e n   y   d y )

Passo 1

Olá amiguinhos ...

Para verificar se a integral independe do caminho, é necessário que o campo potencial que gera o campo vetorial seja conservativo, ou seja, ∇ × f → = 0 e que exista o campo potencial F .

Assim iremos usar a integral a baixo para determinar seus valores.

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A

Passo 2

Vamos primeiro calcular o rotacional de nossa f → . E você deve estar se perguntando, que f → ?

Olhando para nossa integral, temos que nossa f → é

f → = ( - e x cos ⁡ y , e x   s e n   y )

E o rotacional é

∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y = 0

O que nos sugere que pode ser um campo conservativo, e consequentemente independente do caminho.

Dada uma função potencial, temos que a campo vetorial é definido como

∇ F = f →

Assim vamos seguir o caminho reverso para calcular nossa função potencial F .

A ideia é, quando aplicamos o gradiente , ∇ F , temos

∇ F = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y = f →

Assim fazemos

∂ F ∂ x = - e x cos ⁡ y → F = - e x cos ⁡ y + C ( y )

Onde C y é uma constante que depende somente de y.

A ideia é, se derivarmos o que acabamos de encontrar deveríamos obter a componente y do nosso campo. Então vamos derivar

∂ - e x cos ⁡ y + C ( y ) ∂ y = e x s e n   y + C ' y = f y = e x   s e n   y

C ' y = 0 → C y = C

Assim nossa função potencial é

F = - e x cos ⁡ y + C

Passo 3

Para calcular o trabalho, tomamos a integral, onde A ( 0,0 ) e B 2,1

∫ A B f → ⋅ d r → = F B - F A = - e 2 cos ⁡ 1 - - e 0 cos ⁡ 0 = 1 - e 2 cos ⁡ 1

Resposta

1 - e 2 cos ⁡ 1

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