Determinar dz/dt, usando a regra da cadeia

z = arctg xy, x = 2t , y = 3t

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y   =   f x   e   x = h ( t ) tem se

d y d t = d f x d x . d x d t

Se ambas f   e   h   forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z   =   f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g t e y   = h t diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

d z d t = ∂ z ∂ x . d x d t + ∂ z ∂ y . d y d t

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . d x ( t 0 ) d t + ∂ f x , y ∂ y . d y t 0 d t

∂ f x , y ∂ x = y x 2 y 2 + 1

∂ f x , y ∂ y = x x 2 y 2 + 1

d x ( t ) d t = 2

d y t d t = 3  

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

d f x , y d t =   y x 2 y 2 + 1 ×   2 + x x 2 y 2 + 1 ×   3 =

Deixando tudo numa só variável (t)

= 3 t 36 t 4 + 1 ×   2 + 2 t 36 t 4 + 1 ×   3 = 12 t 36 t 4 + 1

Resposta

12 t 36 t 4 + 1

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